Descreva em coordenadas cilíndricas e faça um esboço das regiões:
z=2 r

Passo 1

O enunciado pede para expressar a superfície
z = 2\,r
em coordenadas cilíndricas e fazer um esboço das regiões que ela delimita no espaço. O conteúdo envolve mudança para coordenadas cilíndricas e compreensão geométrica de superfícies de revolução.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com r\ge0, \theta\in[0,2\pi) e z\in\mathbb{R}.

Passo 3

Na passagem de cartesianas para cilíndricas temos r=\sqrt{x^2+y^2}. Substituindo, a equação
z=2\,r
permanece exatamente essa em termos de (r,\theta,z). Como não aparece \theta, é um cone de vértice na origem e simétrico em torno do eixo z.

Passo 4

Esse cone separa o espaço em duas partes. A parte externa ao cone corresponde a
z\ge 2\,r,
e a parte interna ao cone a
z\le 2\,r.
Se quisermos apenas a porção com z\ge0, o interior do cone pode ser descrito por
0\le z\le 2\,r.

Passo 5

Esboço: imagine o eixo z na vertical. A partir da origem desenhe um cone que abre para cima com semiângulo \alpha tal que \tan\alpha=2. A seção horizontal a uma altura z é um círculo de raio r=z/2, e nada depende de \theta.

Resposta

Em coordenadas cilíndricas a superfície é
\{(r,\theta,z)\mid r\ge0,\;\theta\in[0,2\pi),\;z=2\,r\}.
As duas regiões que ela delimita no espaço são
\{(r,\theta,z)\mid z\ge2\,r\} \quad\text{e}\quad \{(r,\theta,z)\mid z\le2\,r\},
e, se considerarmos apenas z\ge0, o interior do cone fica
\{(r,\theta,z)\mid 0\le z\le2\,r\}.

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