Descreva em coordenadas cilíndricas e faça um esboço das regiões:
z=4\left(x^{2}-y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a superfície
z = 4\bigl(x^{2} - y^{2}\bigr)
em coordenadas cilíndricas e em seguida esboçar as regiões onde z é positivo e onde z é negativo. Vamos usar o sistema cilíndrico (r,\theta,z), com
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r\ge0,\\ \theta\in[0,2\pi).

Passo 2

Substituindo x e y em função de r e \theta:
x^{2} - y^{2} = \bigl(r\cos\theta\bigr)^{2} - \bigl(r\sin\theta\bigr)^{2} = r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\bigr).

Passo 3

Reconhecemos a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta = \cos(2\theta). Logo
z = 4\,r^{2}\cos(2\theta).

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas a superfície fica
z = 4r^{2}\cos(2\theta), \quad r\ge0,\quad \theta\in[0,2\pi).
Isto mostra que a altura z depende do fator angular \cos(2\theta) e cresce como r^{2}.

Passo 5

Para classificar onde z é positivo ou negativo, analisamos o sinal de \cos(2\theta):
  • \cos(2\theta)>0 \Longrightarrow z>0. Isso ocorre nos setores
    -\tfrac{\pi}{4}<\theta<\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{3\pi}{4}<\theta<\tfrac{5\pi}{4}.
  • \cos(2\theta)<0 \Longrightarrow z<0. Isso ocorre nos setores
    \tfrac{\pi}{4}<\theta<\tfrac{3\pi}{4} e \tfrac{5\pi}{4}<\theta<\tfrac{7\pi}{4}.
    As fronteiras entre essas regiões são as retas \theta = \tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\dots.

Passo 6

Esboço da superfície e das regiões no plano (x,y):
  1. No plano (x,y) traçamos quatro linhas que passam pela origem com ângulos \theta = \pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4.
  2. Nos setores em volta do eixo x (próximos a \theta=0 e \theta=\pi), marcamos z>0.
  3. Nos setores em volta do eixo y (próximos a \theta=\pi/2 e \theta=3\pi/2), marcamos z<0.
  4. Em 3D, isso gera um “selim” ou paraboloide hiperbólico: sobe ao longo do eixo x e desce ao longo do eixo y.

Resposta

A superfície em coordenadas cilíndricas é
z = 4\,r^{2}\cos(2\theta),\quad r\ge0,\quad \theta\in[0,2\pi).
No plano (x,y), as linhas \theta = \tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4} dividem quatro setores, sendo z>0 nos setores em volta do eixo x e z<0 nos setores em volta do eixo y. O esboço em 3D é um paraboloide hiperbólico (sela).

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