Descreva em coordenadas cilíndricas e faça um esboço das regiões:
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a superfície
em coordenadas cilíndricas e em seguida esboçar as regiões onde
é positivo e onde
é negativo. Vamos usar o sistema cilíndrico
, com
Passo 2
Substituindo
e
em função de
e
:
Passo 3
Reconhecemos a identidade trigonométrica
. Logo
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas a superfície fica
Isto mostra que a altura
depende do fator angular
e cresce como
.
Passo 5
Para classificar onde
é positivo ou negativo, analisamos o sinal de
:
-
. Isso ocorre nos setores
e . -
. Isso ocorre nos setores
e .
As fronteiras entre essas regiões são as retas.
Passo 6
Esboço da superfície e das regiões no plano
:
- No plano
traçamos quatro linhas que passam pela origem com ângulos . - Nos setores em volta do eixo
(próximos a e ), marcamos . - Nos setores em volta do eixo
(próximos a e ), marcamos . - Em 3D, isso gera um “selim” ou paraboloide hiperbólico: sobe ao longo do eixo
e desce ao longo do eixo .
Resposta
A superfície em coordenadas cilíndricas é
No plano
, as linhas
dividem quatro setores, sendo
nos setores em volta do eixo
e
nos setores em volta do eixo
. O esboço em 3D é um paraboloide hiperbólico (sela).