Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada a seguir.
\varphi=\pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para descrever em palavras a superfície dada em coordenadas esféricas por \varphi = \pi/4. Para isso vamos usar as fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) e cartesianas (x,y,z).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi.
Se \varphi = \pi/4, então \sin\varphi = \cos\varphi = 1/\sqrt{2}.

Passo 3

Substituindo \varphi = \pi/4 nas expressões de z e de \sqrt{x^2+y^2} obtemos
z = r\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{r}{\sqrt{2}},
\sqrt{x^2+y^2} = r\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{r}{\sqrt{2}}.
Logo,
z = \sqrt{x^2 + y^2}.

Passo 4

A equação \,z = \sqrt{x^2 + y^2}\, em coordenadas cartesianas define um cone circular reto de vértice na origem, cujo lado faz um ângulo de 45^\circ (ou seja, \varphi=\pi/4) em relação ao eixo z.

Resposta

A superfície é um cone circular reto de vértice na origem, com semi-ângulo de abertura \pi/4 em relação ao eixo z.

Exercícios relacionados