Sendo a real, determine \left|\frac{1-a i}{1+a i}\right|
Passo 1
O enunciado pede o módulo de um número complexo dado por \frac{1 - a i}{1 + a i}, com a real. O conteúdo envolve operações com números complexos e o cálculo de módulo. Vamos usar a propriedade de que o módulo de um quociente é o quociente dos módulos.
Passo 2
Seja
z = \frac{1 - a i}{1 + a i}.
Pela propriedade do módulo, temos
|z| = \left|\frac{1 - a i}{1 + a i}\right| = \frac{\bigl|1 - a i\bigr|}{\bigl|1 + a i\bigr|}.
Passo 3
Agora, como a é real, calculamos separadamente:
|1 - a i| = \sqrt{1^2 + (-a)^2} = \sqrt{1 + a^2},
|1 + a i| = \sqrt{1^2 + a^2} = \sqrt{1 + a^2}.
Passo 4
Substituindo esses resultados em \frac{\bigl|1 - a i\bigr|}{\bigl|1 + a i\bigr|}, obtemos