Sendo a real, determine \left|\frac{1-a i}{1+a i}\right|

Passo 1

O enunciado pede o módulo de um número complexo dado por \frac{1 - a i}{1 + a i}, com a real. O conteúdo envolve operações com números complexos e o cálculo de módulo. Vamos usar a propriedade de que o módulo de um quociente é o quociente dos módulos.

Passo 2

Seja
z = \frac{1 - a i}{1 + a i}.
Pela propriedade do módulo, temos
|z| = \left|\frac{1 - a i}{1 + a i}\right| = \frac{\bigl|1 - a i\bigr|}{\bigl|1 + a i\bigr|}.

Passo 3

Agora, como a é real, calculamos separadamente:
|1 - a i| = \sqrt{1^2 + (-a)^2} = \sqrt{1 + a^2},
|1 + a i| = \sqrt{1^2 + a^2} = \sqrt{1 + a^2}.

Passo 4

Substituindo esses resultados em \frac{\bigl|1 - a i\bigr|}{\bigl|1 + a i\bigr|}, obtemos
|z| = \frac{\sqrt{1 + a^2}}{\sqrt{1 + a^2}} = 1.

Resposta

1

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