Determine os complexos que tem o quadrado igual ao conjugado.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os números complexos z tais que
z^2 = \overline{z}.
O conteúdo é álgebra de números complexos e vamos usar a forma cartesiana z = x + i y para separar partes real e imaginária.

Passo 2

Escrevendo z = x + i y e \overline{z} = x - i y, a equação z^2 = \overline{z} fica
(x + i y)^2 = x - i y.
Calculando o quadrado no lado esquerdo,
(x + i y)^2 = x^2 - y^2 + i\,(2 x y).

Passo 3

Comparando parte real e imaginária em
x^2 - y^2 + i\,(2 x y) \;=\; x - i y,
obtemos o sistema real:
\begin{cases} x^2 - y^2 = x,\\\\ 2 x y = -\,y. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação 2xy = -y temos
y\,(2x + 1) = 0.
Isso dá duas possibilidades: ou y = 0, ou 2x + 1 = 0.

Passo 5

Quando y = 0, a primeira equação vira x^2 = x, ou seja
x(x - 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \text{ ou } x = 1.
Assim, surgem as soluções z = 0 e z = 1.

Passo 6

Quando 2x + 1 = 0, temos x = -\tfrac12. Substituindo na primeira equação:
\bigl(-\tfrac12\bigr)^2 - y^2 = -\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac14 - y^2 = -\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \tfrac34
logo y = \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}. Isso dá as soluções
z = -\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2} \quad\text{e}\quad z = -\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

As soluções são
z \in \bigl\{0,\;1,\;-\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;-\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr\}.

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