Descreva a curva de nível.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para descrever a curva de nível da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e às suas curvas de nível, que nos ajudam a entender como a função se comporta no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis,
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante, digamos
. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, a função é
.
Passo 3
Vamos então substituir a função pelo valor constante
:
Aqui,
é um número real que determina a posição da curva de nível no plano.
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação para
:
Isso nos dá duas possibilidades para
para cada
positivo. Se
, temos apenas a linha
.
Passo 5
O que isso significa graficamente? Para cada valor de
, a curva de nível será uma linha horizontal no plano
em
e
. Essas são linhas paralelas ao eixo
.
Passo 6
Então, ao variar
, temos várias linhas horizontais espalhadas acima e abaixo do eixo
. Quanto maior o valor de
, mais longe do eixo
estão essas linhas.
Resposta
A curva de nível da função
é composta por duas linhas horizontais,
e
, para cada valor constante
. Se
, a curva de nível é apenas a linha
.