Verifique se f é contínua nos pontos (0,0) e 1,1. f(x, y) = { sen(x y) / (x y) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 1 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Então, temos uma função definida da seguinte forma:
O objetivo é verificar se essa função é contínua nos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e analisar os limites nesses pontos.

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade em .
Definição de Continuidade: Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Aplicando no ponto :
  1. Valor da função em :
  1. Calculando o limite quando tende a :
Aqui, podemos fazer uma substituição . Sabemos que:
Portanto,
  1. Comparando o limite com o valor da função:
Como o limite é igual ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em .
Valor da função em :
Calculando o limite quando tende a :
Quando se aproxima de , o produto se aproxima de . Assim,
Comparando o limite com o valor da função:
Como o limite é igual ao valor da função em , a função também é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua tanto no ponto quanto no ponto .

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