Verifique se
é contínua nos pontos
e
.
Passo 1
Então, temos uma função
definida da seguinte forma:
O objetivo é verificar se essa função é contínua nos pontos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e analisar os limites nesses pontos.
Passo 2
Vamos começar verificando a continuidade em
.
Definição de Continuidade: Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Aplicando no ponto
:
- Valor da função em
:
- Calculando o limite quando
tende a :
Aqui, podemos fazer uma substituição
. Sabemos que:
Portanto,
- Comparando o limite com o valor da função:
Como o limite é igual ao valor da função em
, a função
é contínua nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em
.
Valor da função em
:
Calculando o limite quando
tende a
:
Quando
se aproxima de
, o produto
se aproxima de
. Assim,
Comparando o limite com o valor da função:
Como o limite é igual ao valor da função em
, a função
também é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua tanto no ponto
quanto no ponto
.