Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
.
Passo 1
Vamos resolver um limite envolvendo duas variáveis,
e
, quando elas se aproximam de zero. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites de funções multivariáveis e séries de Taylor para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite que queremos determinar:
Aqui, estamos observando o comportamento da função conforme
e
se aproximam de zero ao mesmo tempo.
Passo 3
Para simplificar essa expressão, vamos utilizar a expansão em série de Taylor da função exponencial
em torno de
:
No nosso caso,
, então substituindo na série:
Passo 4
Agora, substituímos essa expansão na expressão do limite:
Simplificando o numerador:
Isso resulta em: