Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe. lim (x, y) (0,0) e^-y^2-x^2-1x^2+y^2.

Passo 1

Vamos resolver um limite envolvendo duas variáveis, e , quando elas se aproximam de zero. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites de funções multivariáveis e séries de Taylor para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite que queremos determinar:
lim(x, y) to (0,0) e^-x^2 - y^2 - 1x^2 + y^2
Aqui, estamos observando o comportamento da função conforme e se aproximam de zero ao mesmo tempo.

Passo 3

Para simplificar essa expressão, vamos utilizar a expansão em série de Taylor da função exponencial e^u = 1 + u + u^22! + u^33! + dots em torno de e^-x^2 - y^2 = 1 - x^2 - y^2 + (x^2 + y^2)^22 - dots :
No nosso caso, , então substituindo na série:

Passo 4

Agora, substituímos essa expansão na expressão do limite:
e^-x^2 - y^2 - 1x^2 + y^2 = 1 - x^2 - y^2 + (x^2 + y^2)^22 - dots - 1x^2 + y^2
Simplificando o numerador:
-x^2 - y^2 + (x^2 + y^2)^22 - dots x^2 + y^2 = - (x^2 + y^2) x^2 + y^2 + termos de ordem superior
Isso resulta em:
-1 + termos que tendem a zero quando (x, y) to (0,0)

Resposta

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