Determine as derivadas parciais da função:
Passo 1
A função dada é f(x, y) = x² + 3xy + x y e^{2y}. O conteúdo aqui é derivada parcial: vamos precisar tratar uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra, usando também a regra do produto e a derivada de exponencial.
Passo 2
Para encontrar ∂f/∂x, tratamos y como constante. A derivada de x² em relação a x é 2x; de 3xy é 3y; e de x y e^{2y} em relação a x é y e^{2y} (pois y e^{2y} é constante multiplicando x). Logo,
Passo 3
Para encontrar ∂f/∂y, tratamos x como constante. A derivada de x² em relação a y é 0; de 3xy é 3x; e de x·(y e^{2y}) aplicamos a regra do produto em y e^{2y}:
Passo 4
- derivada de y e^{2y} é e^{2y} + 2y e^{2y} = e^{2y}(1+2y),
Passo 5
multiplicando por x (constante) dá x e^{2y}(1+2y).
Resposta
As derivadas parciais são
e
.
e