Determine as derivadas parciais da função:
f(x, y)=x^2+3 x y+x y e^2 y

Passo 1

A função dada é f(x, y) = x² + 3xy + x y e^{2y}. O conteúdo aqui é derivada parcial: vamos precisar tratar uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra, usando também a regra do produto e a derivada de exponencial.

Passo 2

Para encontrar ∂f/∂x, tratamos y como constante. A derivada de x² em relação a x é 2x; de 3xy é 3y; e de x y e^{2y} em relação a x é y e^{2y} (pois y e^{2y} é constante multiplicando x). Logo,

Passo 3

Para encontrar ∂f/∂y, tratamos x como constante. A derivada de x² em relação a y é 0; de 3xy é 3x; e de x·(y e^{2y}) aplicamos a regra do produto em y e^{2y}:

Passo 4

  • derivada de y e^{2y} é e^{2y} + 2y e^{2y} = e^{2y}(1+2y),

Passo 5

multiplicando por x (constante) dá x e^{2y}(1+2y).

Resposta

As derivadas parciais são
partial fpartial x = 2x + 3y + y e^2y
e
partial fpartial y = 3x + x e^2y(1 + 2y).

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