Esboce o domínio de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o domínio da função
. As informações que temos são: a expressão da função e que ela é uma função real de duas variáveis
e
. A pergunta é: quais pontos
no plano estão no domínio de
(i.e., onde
está definida)?
Passo 2
Regra básica: uma fração está bem definida quando o denominador é diferente de zero. Aqui o denominador é
. Portanto o primeiro cuidado é excluir todos os pontos do plano que tornam
. Em símbolos: o domínio é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 3
Vamos achar explicitamente a equação dos pontos a excluir. Resolver
dá
Isso é uma curva no plano
: é a parábola que tem vértice em
e abre para a direita (porque estamos escrevendo
em função de
).
Passo 4
Escrever o domínio de forma fechada: todos os pontos do plano menos a parábola
. Em notação:
Uma forma equivalente, que ajuda no esboço, é ver o domínio como a união de duas regiões separadas pela parábola:
Ou seja, todos os pontos à direita da parábola e todos os pontos à esquerda da parábola, mas nunca sobre a parábola.
Passo 5
Como esboçar na prática (passo a passo para você fazer rápido na prova):
- Desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical).\n - Marque alguns pontos da parábola
: por exemplo, para temos ; para temos ; para temos . Ligue esses pontos com uma curva suave: isso dá uma parábola com vértice em que se abre para a direita e é simétrica em relação ao eixo .\n - Trace a parábola como uma linha contínua mas indicando que ela é excluída (por exemplo, desenhe-a tracejada ou risque levemente sobre a curva para lembrar que pontos sobre ela não pertencem ao domínio).\n
- Sombrace (ou apenas indique) as duas regiões: a região à direita da parábola (
) e a região à esquerda ( ). Ambas pertencem ao domínio.
Passo 6
Verificações rápidas com pontos exemplo (útil na prova para checar se você desenhou certo):
- Para
: , então está no domínio (fica à direita da parábola).\n - Para
: , então NÃO está no domínio (é o vértice da parábola e deve ser excluído).\n - Para
: , então está no domínio (fica à esquerda da parábola).
Passo 7
Observações finais que te ajudam na prova: a função é contínua em cada uma das duas regiões (
e
), mas ao se aproximar da parábola
o denominador tende a zero e
tende a
dependendo do lado e do sinal, então a parábola funciona como uma “barreira” de indeterminação.