Esboce o domínio de f(x, y).
f(x, y)=\frac{1}{x-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o domínio da função f(x,y)=\frac{1}{x-y^{2}}. As informações que temos são: a expressão da função e que ela é uma função real de duas variáveis x e y. A pergunta é: quais pontos (x,y) no plano estão no domínio de f (i.e., onde f está definida)?

Passo 2

Regra básica: uma fração está bem definida quando o denominador é diferente de zero. Aqui o denominador é x-y^{2}. Portanto o primeiro cuidado é excluir todos os pontos do plano que tornam x-y^{2}=0. Em símbolos: o domínio é o conjunto de pontos (x,y) tais que x-y^{2}\neq 0.

Passo 3

Vamos achar explicitamente a equação dos pontos a excluir. Resolver x-y^{2}=0
x=y^{2}.
Isso é uma curva no plano (x,y): é a parábola que tem vértice em (0,0) e abre para a direita (porque estamos escrevendo x em função de y).

Passo 4

Escrever o domínio de forma fechada: todos os pontos do plano menos a parábola x=y^{2}. Em notação:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq y^{2}\}.
Uma forma equivalente, que ajuda no esboço, é ver o domínio como a união de duas regiões separadas pela parábola:
\{(x,y)\mid x>y^{2}\}\quad\text{e}\quad\{(x,y)\mid x<y^{2}\}.
Ou seja, todos os pontos à direita da parábola e todos os pontos à esquerda da parábola, mas nunca sobre a parábola.

Passo 5

Como esboçar na prática (passo a passo para você fazer rápido na prova):
  1. Desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical).\n
  2. Marque alguns pontos da parábola x=y^{2}: por exemplo, para y=0 temos x=0; para y=\pm1 temos x=1; para y=\pm2 temos x=4. Ligue esses pontos com uma curva suave: isso dá uma parábola com vértice em (0,0) que se abre para a direita e é simétrica em relação ao eixo x.\n
  3. Trace a parábola como uma linha contínua mas indicando que ela é excluída (por exemplo, desenhe-a tracejada ou risque levemente sobre a curva para lembrar que pontos sobre ela não pertencem ao domínio).\n
  4. Sombrace (ou apenas indique) as duas regiões: a região à direita da parábola ( x>y^{2}) e a região à esquerda ( x<y^{2}). Ambas pertencem ao domínio.

Passo 6

Verificações rápidas com pontos exemplo (útil na prova para checar se você desenhou certo):
  • Para (1,0): x-y^{2}=1-0=1\neq 0, então (1,0) está no domínio (fica à direita da parábola).\n
  • Para (0,0): x-y^{2}=0-0=0, então (0,0) NÃO está no domínio (é o vértice da parábola e deve ser excluído).\n
  • Para (-1,0): x-y^{2}=-1-0=-1\neq0, então (-1,0) está no domínio (fica à esquerda da parábola).

Passo 7

Observações finais que te ajudam na prova: a função é contínua em cada uma das duas regiões ( x>y^{2} e x<y^{2}), mas ao se aproximar da parábola x=y^{2} o denominador tende a zero e f tende a \pm\infty dependendo do lado e do sinal, então a parábola funciona como uma “barreira” de indeterminação.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq y^{2}\}

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