(a) Mostre que o conjunto de pontos críticos de f(x, y) é a curva y=x^alpha-1. Note que esta curva também pode ser escrita como sendo x=y^beta-1. Qual é o valor de f(x, y) em pontos sobre essa curva?

Passo 1

O enunciado trata da função
f(x,y)=x^alphaalpha+y^betabeta-xy,
onde alpha>1 e beta é o expoente conjugado de alpha, i.e.\ tfrac1alpha+tfrac1beta=1.
O conteúdo é cálculo de pontos críticos de uma função de duas variáveis usando o gradiente.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =ddxl(tfracx^alphaalphar)-y =x^alpha-1-y,
partial fpartial y =ddyl(tfracy^betabetar)-x =y^beta-1-x

Passo 3

Para pontos críticos exigimos
x^alpha-1-y=0, y^beta-1-x=0
Da primeira vem ;y=x^alpha-1. Da segunda vem ;x=y^beta-1. Assim os críticos formam a curva
y=x^alpha-1,
que, invertendo, é equivalente a x=y^beta-1.

Passo 4

Agora avaliamos f sobre essa curva. Substituindo y=x^alpha-1 em f:
fl(x,x^alpha-1r) =x^alphaalpha +l(x^alpha-1r)^betabeta -xcdot x^alpha-1
Como (alpha-1)beta=alpha (pela relação dos conjugados), isso fica
fl(x,x^alpha-1r) =x^alphaalpha+x^alphabeta-x^alpha =x^alphal(tfrac1alpha+tfrac1beta-1r)
Mas tfrac1alpha+tfrac1beta=1, logo fl(x,x^alpha-1r)=0.

Resposta

Em todos os pontos críticos sobre a curva y=x^alpha-1, vale
f(x,y)=0

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