(a) Mostre que o conjunto de pontos críticos de
é a curva
. Note que esta curva também pode ser escrita como sendo
. Qual é o valor de
em pontos sobre essa curva?
Passo 1
O enunciado trata da função
onde
e
é o expoente conjugado de
, i.e.\
.
O conteúdo é cálculo de pontos críticos de uma função de duas variáveis usando o gradiente.
O conteúdo é cálculo de pontos críticos de uma função de duas variáveis usando o gradiente.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para pontos críticos exigimos
Da primeira vem
. Da segunda vem
. Assim os críticos formam a curva
que, invertendo, é equivalente a
.
Passo 4
Agora avaliamos
sobre essa curva. Substituindo
em
:
Como
(pela relação dos conjugados), isso fica
Mas
, logo
.
Resposta
Em todos os pontos críticos sobre a curva
, vale