Suponha que a temperatura num ponto (x, y, z) do espaço é dada pela equação T(x, y, z)= e^-x^2-2 y^2+3 z^2. Esboce:
Os pontos do espaço cuja temperatura é igual a 12.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e esboçar a superfície no espaço onde a temperatura T(x,y,z)=e^-x^2-2y^2+3z^2 vale tfrac12. O conteúdo principal é o de superfícies de nível de funções de três variáveis e vamos precisar usar logaritmo para isolar a combinação quadrática.

Passo 2

Começamos impondo a condição de nível:
e^-x^2-2y^2+3z^2=tfrac12
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados, obtemos
-x^2-2y^2+3z^2=lnl(tfrac12r)=-ln2,
ou seja
x^2+2y^2-3z^2=ln2

Passo 3

Essa equação x^2+2y^2-3z^2=ln2 é um quadriculado com dois coeficientes positivos e um negativo igual a uma constante positiva, o que caracteriza um hiperboloide de uma folha centrado na origem e simétrico em relação aos três planos coordenados.

Passo 4

Para esboçar, olhamos os traços principais:
— No plano z=0, temos
x^2+2y^2=ln2,
uma elipse de semi-eixos raizln2 (eixo x) e raizln2/2 (eixo y).
— No plano y=0,
x^2-3z^2=ln2,
uma hipérbole aberta ao longo de x.
— No plano x=0,
2y^2-3z^2=ln2,
uma hipérbole aberta ao longo de y.
Com esses traços conseguimos desenhar o contorno do hiperboloide de uma folha.

Passo 5

Juntando tudo, o esboço é um hiperboloide de uma folha simétrico em relação ao plano z=0, com seção elíptica no plano z=0 e seções hiperbólicas nos planos x=0 e y=0.

Resposta

A superfície de nível T=tfrac12 é o hiperboloide de uma folha dado por
x^2+2y^2-3z^2=ln2

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