Suponha que a temperatura num ponto
do espaço é dada pela equação
. Esboce:
Os pontos do espaço cuja temperatura é igual a
.
Os pontos do espaço cuja temperatura é igual a
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e esboçar a superfície no espaço onde a temperatura
vale
. O conteúdo principal é o de superfícies de nível de funções de três variáveis e vamos precisar usar logaritmo para isolar a combinação quadrática.
Passo 2
Começamos impondo a condição de nível:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados, obtemos
ou seja
Passo 3
Essa equação
é um quadriculado com dois coeficientes positivos e um negativo igual a uma constante positiva, o que caracteriza um hiperboloide de uma folha centrado na origem e simétrico em relação aos três planos coordenados.
Passo 4
Para esboçar, olhamos os traços principais:
— No plano , temos
— No plano
uma elipse de semi-eixos
— No plano
uma hipérbole aberta ao longo de
.
— No plano ,
— No plano
uma hipérbole aberta ao longo de
Com esses traços conseguimos desenhar o contorno do hiperboloide de uma folha.
Passo 5
Juntando tudo, o esboço é um hiperboloide de uma folha simétrico em relação ao plano
, com seção elíptica no plano
e seções hiperbólicas nos planos
e
.
Resposta
A superfície de nível
é o hiperboloide de uma folha dado por