Descreva o domínio, a imagem, as curvas de nível e esboce os gráficos da seguinte função:
f(x, y)=x^2.

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a função de duas variáveis f(x,y)=x²: identificar domínio, imagem, curvas de nível e esboçar o gráfico. Isso cai em conteúdo de funções de duas variáveis, onde precisamos saber as definições de domínio (onde a função está bem definida), imagem (valores possíveis), curvas de nível (conjunto de pontos que dão o mesmo valor) e entender como é o gráfico em ℝ³.

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver onde f(x,y)=x² faz sentido. Como não temos raiz, log ou divisão por zero, a expressão x² está bem definida para todo par (x,y)∈ℝ². Logo, o domínio é ℝ².

Passo 3

A imagem são os valores que x² pode assumir quando (x,y) varre todo o domínio. Sabemos que x²≥0 para todo x∈ℝ, então a imagem é o conjunto [0,∞).

Passo 4

As curvas de nível de f são os pontos (x,y) tais que f(x,y)=k, isto é x²=k. Se k<0 não há solução; se k≥0, então x=±√k e y pode ser qualquer real. No plano xy, cada curva de nível k≥0 é o par de retas verticais x=√k e x=−√k.

Passo 5

O gráfico em ℝ³ de z=f(x,y)=x² é um cilindro parabólico: para cada y fixo, a seção em xz é a parábola z=x², e essa parábola é extrudada indefinidamente ao longo do eixo y.

Resposta

Domínio: ℝ²
Imagem: [0, ∞)
Curvas de nível: para k<0 não existem; para k≥0, são as retas verticais x=±√k com y∈ℝ
Gráfico: cilindro parabólico dado por z=x², ou seja, uma parábola em xz estendida ao longo do eixo y.

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