Determine os traços, esboce as superfícies e identifique-as:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da superfície
. Nosso objetivo é determinar os traços dessa superfície, fazer um esboço dela e identificar que tipo de superfície estamos lidando. Para isso, vamos precisar entender como encontrar os traços em diferentes planos e reconhecer as formas geométricas que surgem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os traços dessa superfície nos principais planos coordenados: plano
, plano
e plano
.
- Traço no plano
: Para encontrar esse traço, fixamos na equação.
Resolvendo, temos:
Mas uma soma de quadrados nunca é negativa, então não existe traço no plano
.
- Traço no plano
: Para esse traço, fixamos .
Essa é a equação de uma parábola no plano
.
- Traço no plano
: Aqui, fixamos .
Novamente, temos uma parábola, agora no plano
.
Passo 3
Agora que temos os traços, vamos pensar em como a superfície se comporta. Como vemos, nos planos
e
, a equação representa parábolas que abrem para cima, já que o coeficiente quadrático é positivo.
Além disso, não há interseção com o plano
, o que significa que a superfície nunca toca o plano
.
Passo 4
Com base nos traços e no comportamento das equações, podemos identificar a superfície. A equação
representa um paraboloide elíptico. Esse tipo de superfície é uma parábola girada em torno do eixo
, formando uma forma semelhante a uma tigela.
Passo 5
Para esboçar a superfície, imaginamos uma tigela aberta para cima, deslocada 1 unidade no eixo
.
Resposta
A superfície
é um paraboloide elíptico, formado por parábolas nos planos
e
e não intercepta o plano
.