Determine os traços, esboce as superfícies e identifique-as:
z=x^2+y^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da superfície z = x^2 + y^2 + 1 . Nosso objetivo é determinar os traços dessa superfície, fazer um esboço dela e identificar que tipo de superfície estamos lidando. Para isso, vamos precisar entender como encontrar os traços em diferentes planos e reconhecer as formas geométricas que surgem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os traços dessa superfície nos principais planos coordenados: plano xy , plano xz e plano yz .
  1. Traço no plano xy : Para encontrar esse traço, fixamos z = 0 na equação.
0 = x^2 + y^2 + 1
Resolvendo, temos:
x^2 + y^2 = -1
Mas uma soma de quadrados nunca é negativa, então não existe traço no plano xy .
  1. Traço no plano xz : Para esse traço, fixamos y = 0 .
z = x^2 + 0 + 1 Rightarrow z = x^2 + 1
Essa é a equação de uma parábola no plano xz .
  1. Traço no plano yz : Aqui, fixamos x = 0 .
z = 0 + y^2 + 1 Rightarrow z = y^2 + 1
Novamente, temos uma parábola, agora no plano yz .

Passo 3

Agora que temos os traços, vamos pensar em como a superfície se comporta. Como vemos, nos planos xz e yz , a equação representa parábolas que abrem para cima, já que o coeficiente quadrático é positivo.
Além disso, não há interseção com o plano xy , o que significa que a superfície nunca toca o plano xy .

Passo 4

Com base nos traços e no comportamento das equações, podemos identificar a superfície. A equação z = x^2 + y^2 + 1 representa um paraboloide elíptico. Esse tipo de superfície é uma parábola girada em torno do eixo z , formando uma forma semelhante a uma tigela.

Passo 5

Para esboçar a superfície, imaginamos uma tigela aberta para cima, deslocada 1 unidade no eixo z .

Resposta

A superfície z = x^2 + y^2 + 1 é um paraboloide elíptico, formado por parábolas nos planos xz e yz e não intercepta o plano xy .

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