Determine os traços, esboce as superfícies e identifique-as:
3 x+6 y+2 z=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar os traços da equação 3x + 6y + 2z = 6, esboçar as superfícies e identificar que tipo de superfície é essa. Para isso, vamos precisar entender sobre planos no espaço tridimensional e como encontrar os interceptos com os eixos x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos dessa equação com os três eixos. Os interceptos são os pontos onde o plano corta cada um dos eixos.

Passo 3

Para encontrar o intercepto com o eixo x, a gente deixa y = 0 e z = 0 na equação:
3x + 6(0) + 2(0) = 6 implies 3x = 6 implies x = 2
Então, o intercepto com o eixo x é o ponto (2, 0, 0).

Passo 4

Agora, para o intercepto com o eixo y, deixamos x = 0 e z = 0:
3(0) + 6y + 2(0) = 6 implies 6y = 6 implies y = 1
O intercepto com o eixo y é (0, 1, 0).

Passo 5

Por fim, para o intercepto com o eixo z, deixamos x = 0 e y = 0:
3(0) + 6(0) + 2z = 6 implies 2z = 6 implies z = 3
Então, o intercepto com o eixo z é (0, 0, 3).

Passo 6

Com esses três pontos, podemos desenhar o esboço do plano no espaço tridimensional. O plano vai passar por esses interceptos, formando um triângulo com os pontos (2, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 3).

Passo 7

Agora, para identificar a superfície, vemos que a equação 3x + 6y + 2z = 6 é uma equação linear em três variáveis. Isso significa que ela representa um plano no espaço tridimensional.

Resposta

Os traços da equação 3x + 6y + 2z = 6 são os pontos (2, 0, 0) no eixo x, (0, 1, 0) no eixo y e (0, 0, 3) no eixo z. O esboço do plano passa por esses três pontos e, portanto, a superfície identificada é um plano.

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