Determine se os pontos estăo em uma mesma reta.
A(2,4,2),
B(3,7,-2), \quad C(1,3,3)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se os três pontos dados estão em uma mesma reta (ou seja, se são colineares). Os pontos fornecidos são:
A(2,4,2),\qquad B(3,7,-2),\qquad C(1,3,3).
Lista das informações relevantes:
\text{coordenadas de }A,\;B,\;C \text{ conforme acima.}

Passo 2

Idéia do método (explicada devagarinho): para saber se três pontos A, B, C estão em uma mesma reta em \mathbb{R}^3 podemos olhar para os vetores que ligam A a B e A a C. Esses vetores são
\overrightarrow{AB}=B-A,\qquad \overrightarrow{AC}=C-A,
onde a subtração é componente a componente. Se \overrightarrow{AB} for múltiplo escalar de \overrightarrow{AC} (ou seja, existir um escalar k tal que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}), então os vetores têm a mesma direção e os pontos são colineares. Se não existir tal k, então não são colineares.
Um exemplo rápido para fixar: os pontos (0,0,0),(1,1,1),(2,2,2) são colineares porque \overrightarrow{(0,0,0)(1,1,1)}=(1,1,1) e \overrightarrow{(0,0,0)(2,2,2)}=(2,2,2)=2(1,1,1).
Vou usar o teste da proporcionalidade das componentes (método simples e direto). Se esse teste falhar, os pontos não estão em uma mesma reta.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{AB}=B-A componente a componente:
\overrightarrow{AB}=(3-2,\;7-4,\;-2-2).
Portanto,
\overrightarrow{AB}=(1,\;3,\;-4).

Passo 4

Calcular \overrightarrow{AC}=C-A componente a componente:
\overrightarrow{AC}=(1-2,\;3-4,\;3-2).
Portanto,
\overrightarrow{AC}=(-1,\;-1,\;1).

Passo 5

Testar se existe k tal que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}. Isso implica comparar as razões das componentes correspondentes:
\frac{1}{-1}=-1,\qquad \frac{3}{-1}=-3,\qquad \frac{-4}{1}=-4.
Como as três razões deveriam ser iguais (o mesmo k) se os vetores fossem proporcionais, e aqui obtemos -1, -3 e -4 — números diferentes — concluímos que não existe um k que satisfaça \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}. Logo, os vetores não são colineares e os pontos não estão em uma mesma reta.

Passo 6

Confirmação alternativa (útil para aprender outro teste): o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} em \mathbb{R}^3 é o vetor zero se e somente se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem paralelos. Vamos calcular para reforçar a conclusão.
Usando a fórmula
\overrightarrow{AB}=(1,3,-4),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1,-1,1),
temos
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr),
onde a_i são componentes de \overrightarrow{AB} e b_i as de \overrightarrow{AC}. Calculando cada componente:
\begin{aligned} \text{componente }1 &: \;3\cdot 1 - (-4)\cdot(-1)=3-4=-1,\\[4pt] \text{componente }2 &: \;(-4)\cdot(-1) - 1\cdot 1=4-1=3,\\[4pt] \text{componente }3 &: \;1\cdot(-1) - 3\cdot(-1)=-1+3=2. \end{aligned}
Logo
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,\;3,\;2),
que não é o vetor zero. Assim os vetores não são paralelos, confirmando que os pontos não são colineares.]

Passo 7

Conclusão final: pelos dois testes (razões das componentes e produto vetorial) os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos escalares um do outro, portanto os pontos A, B e C não estão em uma mesma reta.

Resposta

Não — os pontos não estão em uma mesma reta.

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