Determine se os pontos estăo em uma mesma reta. D(0,-5,5), E(1,-2,4), \quad F(3,4,2)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se os pontos D(0,-5,5), E(1,-2,4) e F(3,4,2) estão em uma mesma reta.
Dados fornecidos (as coordenadas dos pontos):
D=(0,-5,5),\quad E=(1,-2,4),\quad F=(3,4,2).
A pergunta é única: “os três pontos são colineares (estão na mesma reta)?”
Passo 2
Vamos entender o que significa “estar na mesma reta” em 3D e qual teste usar.
Definição útil: dados dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), o vetor que vai de P a Q é
Truque prático para colinearidade de três pontos A,B,C: calcule dois vetores saindo do mesmo ponto, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Se esses vetores forem múltiplos escalares um do outro (isto é, existir \lambda tal que \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}), então os três pontos estão numa mesma reta. Por que isso funciona? Porque vetores com mesma direção (ou direção oposta) definem a mesma reta quando colocados na origem comum — sendo múltiplos escalares, um indica deslocamento na mesma direção do outro.
Método escolhido (básico, rápido e sem cálculo complicado): calcular \overrightarrow{DE} e \overrightarrow{DF} e verificar se \overrightarrow{DF} é múltiplo escalar de \overrightarrow{DE}.
Passo 3
Calculemos \overrightarrow{DE} usando a fórmula acima:
\overrightarrow{DE} = E - D = (1-0,\; -2-(-5),\; 4-5).
Verificamos se \overrightarrow{DF} é múltiplo escalar de \overrightarrow{DE}. Procuramos \lambda tal que
(3,9,-3)=\lambda(1,3,-1).
Compare componente a componente, dividindo as componentes correspondentes (desde que a componente de \overrightarrow{DE} não seja zero; aqui nenhuma é zero):
Como todas as razões são iguais a 3, temos \lambda=3 e então
\overrightarrow{DF}=3\,\overrightarrow{DE}.
Isto prova que os vetores têm a mesma direção e, portanto, D, E e F são colineares.
Complemento útil (para a prova): a equação paramétrica da reta que passa por D com direção \overrightarrow{DE}=(1,3,-1) é
(x,y,z)=(0,-5,5)+t(1,3,-1).
Para t=1 obtemos E e para t=3 obtemos F, confirmando de outra forma que ambos estão na mesma reta.
Passo 6
Conclusão prática e dica de prova: sempre que der três pontos, calcule dois vetores a partir do mesmo ponto e confira se são proporcionais (ou calcule o produto vetorial e veja se dá o vetor zero). Proporcionalidade é rápido e fácil de checar com conta de cabeça quando as componentes são inteiras simples — ótimo para prova sem perder tempo. Você conseguiu — é só repetir esses passos.