Represente o vetor
em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede: representar o vetor
em coordenadas cilíndricas.
Informações dadas (explicitadas para evitar confusão):
Informações dadas (explicitadas para evitar confusão):
- As componentes
são as coordenadas cartesianas usuais; vou renomeá‑las para , , . - As direções
são a base cartesiana padrão; vou identificá‑las com , , . - Objetivo final: escrever
como combinação das bases cilíndricas , com componentes expressas em termos de .
Passo 2
Relembrando as relações básicas entre coordenadas cartesianas
e cilíndricas
:
onde
é a distância radial no plano
,
é o ângulo medido a partir do eixo
e
é a coordenada vertical.
As direções unitárias estão relacionadas por:
As direções unitárias estão relacionadas por:
Explicação curta:
aponta radialmente para fora (projeção de
e
com cossenos/senos) e
é ortogonal a
no sentido positivo de
. Essas fórmulas permitem trocar qualquer expressão em
por
.
Passo 3
Reescrevo o vetor dado usando
e
:
Aqui substituí
,
e
,
,
.
Passo 4
Agora substituo
e
em termos de
e
. Invertendo as relações do Passo 2 (ou resolvendo o sistema linear), obtemos:
Breve justificativa: multiplicando essas expressões pelas do Passo 2 verifica‑se que as bases são coerentes e ortonormais.
Passo 5
Substituo as expressões de
em
:
Agora substituo
(relação do Passo 2) para deixar tudo em
:
Agrupo os termos em
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto
Passo 6
Podemos apresentar a mesma resposta ligeiramente simplificada usando identidades trigonométricas, se quiseres:
e
. Usando a primeira:
Mas a forma do Passo 5 já está bem clara e prática para usar em provas.
Passo 7
Checagem rápida em um caso fácil para ganhar confiança: tome
(eixo
, então
,
,
). Substituindo
na expressão do Passo 5 dá coeficientes
,
,
, ou seja
, que coincide com a expressão cartesiana original — ótimo sinal de consistência.