Represente o vetor \vec{A}=x_{3} \hat{z}_{1}-2 x_{1} \hat{z}_{2}+x_{3} \hat{z}_{3} em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede: representar o vetor \vec{A}=x_{3}\,\hat{z}_{1}-2 x_{1}\,\hat{z}_{2}+x_{3}\,\hat{z}_{3} em coordenadas cilíndricas.
Informações dadas (explicitadas para evitar confusão):
  • As componentes x_{1},x_{2},x_{3} são as coordenadas cartesianas usuais; vou renomeá‑las para x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=z.
  • As direções \hat{z}_{1},\hat{z}_{2},\hat{z}_{3} são a base cartesiana padrão; vou identificá‑las com \hat{z}_{1}=\hat{x}, \hat{z}_{2}=\hat{y}, \hat{z}_{3}=\hat{z}.
  • Objetivo final: escrever \vec{A} como combinação das bases cilíndricas \hat{\rho},\hat{\varphi},\hat{z}, com componentes expressas em termos de \rho,\varphi,z.

Passo 2

Relembrando as relações básicas entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e cilíndricas (\rho,\varphi,z):
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z,
onde \rho\ge0 é a distância radial no plano xy, \varphi é o ângulo medido a partir do eixo x e z é a coordenada vertical.
As direções unitárias estão relacionadas por:
\hat{\rho}=\cos\varphi\,\hat{x}+\sin\varphi\,\hat{y},
\hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{x}+\cos\varphi\,\hat{y},
\hat{z}=\hat{z}.
Explicação curta: \hat{\rho} aponta radialmente para fora (projeção de \hat{x} e \hat{y} com cossenos/senos) e \hat{\varphi} é ortogonal a \hat{\rho} no sentido positivo de \varphi. Essas fórmulas permitem trocar qualquer expressão em \hat{x},\hat{y} por \hat{\rho},\hat{\varphi}.

Passo 3

Reescrevo o vetor dado usando x,y,z e \hat{x},\hat{y},\hat{z}:
\vec{A}=z\,\hat{x}-2x\,\hat{y}+z\,\hat{z}.
Aqui substituí x_{3}=z, x_{1}=x e \hat{z}_{1}=\hat{x}, \hat{z}_{2}=\hat{y}, \hat{z}_{3}=\hat{z}.

Passo 4

Agora substituo \hat{x} e \hat{y} em termos de \hat{\rho} e \hat{\varphi}. Invertendo as relações do Passo 2 (ou resolvendo o sistema linear), obtemos:
\hat{x}=\cos\varphi\,\hat{\rho}-\sin\varphi\,\hat{\varphi},
\hat{y}=\sin\varphi\,\hat{\rho}+\cos\varphi\,\hat{\varphi}.
Breve justificativa: multiplicando essas expressões pelas do Passo 2 verifica‑se que as bases são coerentes e ortonormais.

Passo 5

Substituo as expressões de \hat{x},\hat{y} em \vec{A}:
\vec{A}=z\big(\cos\varphi\,\hat{\rho}-\sin\varphi\,\hat{\varphi}\big)-2x\big(\sin\varphi\,\hat{\rho}+\cos\varphi\,\hat{\varphi}\big)+z\,\hat{z}.
Agora substituo x=\rho\cos\varphi (relação do Passo 2) para deixar tudo em \rho,\varphi,z:
\vec{A}=z\cos\varphi\,\hat{\rho}-z\sin\varphi\,\hat{\varphi}-2(\rho\cos\varphi)\sin\varphi\,\hat{\rho}-2(\rho\cos\varphi)\cos\varphi\,\hat{\varphi}+z\,\hat{z}.
Agrupo os termos em \hat{\rho},\hat{\varphi},\hat{z}:
Coeficiente de \hat{\rho}:
z\cos\varphi-2\rho\cos\varphi\sin\varphi.
Coeficiente de \hat{\varphi}:
-\,z\sin\varphi-2\rho\cos^{2}\varphi.
Coeficiente de \hat{z}:
z.
Portanto
\vec{A}=\big(z\cos\varphi-2\rho\cos\varphi\sin\varphi\big)\hat{\rho}+\big(-z\sin\varphi-2\rho\cos^{2}\varphi\big)\hat{\varphi}+z\,\hat{z}.

Passo 6

Podemos apresentar a mesma resposta ligeiramente simplificada usando identidades trigonométricas, se quiseres: 2\cos\varphi\sin\varphi=\sin2\varphi e \cos^{2}\varphi=\tfrac{1}{2}(1+\cos2\varphi). Usando a primeira:
\vec{A}=\big(z\cos\varphi-\rho\sin2\varphi\big)\hat{\rho}+\big(-z\sin\varphi-2\rho\cos^{2}\varphi\big)\hat{\varphi}+z\,\hat{z}.
Mas a forma do Passo 5 já está bem clara e prática para usar em provas.

Passo 7

Checagem rápida em um caso fácil para ganhar confiança: tome \varphi=0 (eixo x, então \rho=x, \hat{\rho}=\hat{x}, \hat{\varphi}=\hat{y}). Substituindo \varphi=0 na expressão do Passo 5 dá coeficientes \hat{\rho}:z, \hat{\varphi}:-2\rho, \hat{z}:z, ou seja \vec{A}=z\hat{x}-2x\hat{y}+z\hat{z}, que coincide com a expressão cartesiana original — ótimo sinal de consistência.

Resposta

\displaystyle \vec{A}=\big(z\cos\varphi-2\rho\cos\varphi\sin\varphi\big)\hat{\rho}+\big(-z\sin\varphi-2\rho\cos^{2}\varphi\big)\hat{\varphi}+z\,\hat{z}

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