Descreva e esboce as superfícies e curvas de coordenadas para coordenadas parabólicas cilíndricas:
x_{1}=\frac{1}{2}\left(q_{1}^{2}-q_{2}^{2}\right) ; x_{2}=q_{1} q_{2} ; \quad x_{3}=q_{3}
-\infty<q_{1}<\infty ; \quad q_{2} \geqslant 0 ;-\infty<q_{3}<\infty

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva e esboce as superfícies de coordenadas (ou seja, os conjuntos obtidos fixando uma coordenada) e as curvas de coordenadas (as interseções dessas superfícies) para a transformação
x_{1}=\frac{1}{2}\left(q_{1}^{2}-q_{2}^{2}\right),\qquad x_{2}=q_{1}q_{2},\qquad x_{3}=q_{3},
com as faixas
-\infty<q_{1}<\infty,\qquad q_{2}\ge 0,\qquad -\infty<q_{3}<\infty.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) }x_3=q_3\text{ (portanto as coordenadas em }x_3\text{ são triviais);}\quad \text{(ii) }(x_1,x_2)\text{ é obtido a partir de }(q_1,q_2)\text{ por fórmulas quadráticas.}ãéóá
Vou, passo a passo, caracterizar as superfícies q_1=const, q_2=const e q_3=const, explicar as curvas obtidas pela interseção entre elas, mostrar ortogonalidade e fatores de escala, discutir singularidades/duplicidades e dar instruções de esboço.

Passo 2

Interpretação útil (intuição geométrica): escrevo
z = x_1 + i x_2,\qquad w = q_1 + i q_2.
Então, observamos que
z = \frac{1}{2}w^{2}.
Isso significa que o mapeamento (q_1,q_2)\mapsto(x_1,x_2) é, up to escala, a aplicação quadrática complexa que envia reticulados em w em uma malha de parábolas no plano x_1x_2. Essa observação já antecipa que as curvas constantes de q_1 e q_2 serão parábolas no plano x_1x_2.

Passo 3

Calculo os vetores tangentes associados às coordenadas (útil para checar ortogonalidade e fatores de escala). A posição no espaço é
\mathbf{r}(q_1,q_2,q_3)=\left(\frac{1}{2}(q_1^2-q_2^2),\;q_1 q_2,\;q_3\right).
Derivando:
\mathbf{r}_{q_1}=\left(q_1,\;q_2,\;0\right),\qquad \mathbf{r}_{q_2}=\left(-q_2,\;q_1,\;0\right),\qquad \mathbf{r}_{q_3}=(0,0,1).
Esses vetores representam as direções em que \mathbf{r} varia se eu mudar apenas q_1, apenas q_2 ou apenas q_3.

Passo 4

Ortogonaliade das coordenadas: calculo produtos escalares
\mathbf{r}_{q_1}\cdot\mathbf{r}_{q_2}=q_1(-q_2)+q_2 q_1=0,
\mathbf{r}_{q_1}\cdot\mathbf{r}_{q_3}=0,\qquad \mathbf{r}_{q_2}\cdot\mathbf{r}_{q_3}=0.
Portanto as superfícies coordenadas são mutuamente ortogonais: este é um sistema ortogonal de coordenadas (parabólicas cilíndricas).

Passo 5

Fatores de escala (importante para esboços e para entender densidade de linhas): normas dos vetores tangentes
\|\mathbf{r}_{q_1}\|=\sqrt{q_1^2+q_2^2},\qquad \|\mathbf{r}_{q_2}\|=\sqrt{q_1^2+q_2^2},\qquad \|\mathbf{r}_{q_3}\|=1.
Logo os fatores de escala são
h_1=h_2=\sqrt{q_1^2+q_2^2},\qquad h_3=1.
O elemento de comprimento é
ds^2=(q_1^2+q_2^2)\,(\,dq_1^2+dq_2^2\,)+dq_3^2,
e o elemento de volume é
dV=h_1h_2h_3\,dq_1dq_2dq_3=(q_1^2+q_2^2)\,dq_1dq_2dq_3.

Passo 6

Caracterização das superfícies q_3=const: como x_3=q_3, cada superfície q_3=c é simplesmente o plano horizontal
\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}.
Essas são planas, paralelas ao plano x_1x_2. Ao esboçar, pense em “fatias” horizontais do espaço: em cada fatia teremos a malha curva gerada por q_1,q_2.

Passo 7

Superfícies q_1=const. Fixe \,q_1=a (com a real). Parametrizando por q_2\ge 0 obtemos
x_1=\frac{1}{2}(a^2-q_2^2),\qquad x_2=a q_2,\qquad x_3=q_3.
Para cada valor de q_3 (ou seja, em cada plano horizontal) a curva com q_1=a é dada no plano x_3=const por
x_1=\frac{a^2}{2}-\frac{x_2^2}{2a^2}\qquad(\text{obtido substituindo }q_2=\tfrac{x_2}{a}\text{ quando }a\neq 0).
Isso é uma parábola em função de x_2: tem vértice em \big(\tfrac{a^2}{2},0\big) e abre na direção negativa de x_1 (ou seja, “para a esquerda”). A parábola é simétrica em relação à reta x_2=0. No espaço 3D, a superfície q_1=a é a cilindro parabólico obtido ao “levantar” essa parábola para todas as alturas x_3.
Observações sobre o caso a=0: então x_1=-\tfrac{1}{2}q_2^2, x_2=0, é o semi-eixo negativo em x_1 ao longo da linha x_2=0 (mas q_2\ge0 dá apenas a parte com x_1\le0).

Passo 8

Superfícies q_2=const. Fixe \,q_2=b\ge 0. Parametrizando por q_1\in\mathbb{R} obtemos
x_1=\frac{1}{2}(q_1^2-b^2),\qquad x_2=b q_1,\qquad x_3=q_3.
Eliminando q_1 (use q_1=\tfrac{x_2}{b} quando b\neq0) resulta
x_1=-\frac{b^2}{2}+\frac{x_2^2}{2b^2}.
Isto é outra família de parábolas no plano x_3=const, com vértice em \big(-\tfrac{b^2}{2},0\big) e que abre na direção positiva de x_1 (ou seja, “para a direita”). No espaço 3D, q_2=b é novamente um cilindro parabólico, obtido ao elevar a parábola para todas as alturas x_3.
Caso especial b=0: x_1=\tfrac{1}{2}q_1^2,\;x_2=0. Isso dá o semi-eixo positivo em x_1 sobre x_2=0.

Passo 9

Resumo geométrico das duas famílias no plano x_3=const:
  • A família q_1=const são parábolas com vértices em \big(\tfrac{a^2}{2},0\big) e que abrem para a esquerda.
  • A família q_2=const são parábolas com vértices em \big(-\tfrac{b^2}{2},0\big) e que abrem para a direita.
    Essas duas famílias se cruzam ortogonalmente (ver Passo 4). No plano x_3=const vemos, portanto, uma malha ortogonal de parábolas, como esperado da transformação z=\tfrac{1}{2}w^2.

Passo 10

Curvas de coordenadas (interseções):
  • Interseção q_1=a e q_3=c: é a parábola no plano x_3=c descrita no Passo 7.
  • Interseção q_2=b e q_3=c: é a parábola no plano x_3=c descrita no Passo 8.
  • Interseção q_1=a e q_2=b: fixando ambos, obtém-se um ponto no plano x_1x_2,
(x_1,x_2) =\Big(\tfrac{1}{2}(a^2-b^2),\;ab\Big),
e variando q_3 essa interseção descreve a reta paralela ao eixo x_3 que passa por esse ponto (portanto linhas retas verticais). Assim, as curvas obtidas ao variar apenas q_3 são retas paralelas ao eixo x_3.

Passo 11

Singularidades / cobertura do mapeamento:
  • Pelo fato do mapeamento ser essencialmente uma raiz quadrada complexa invertida ( w=\pm\sqrt{2z}), há ambiguidade de sinal. A condição q_2\ge 0 serve para escolher uma folha da raiz; mesmo assim existe uma singularidade na semi-reta positiva do eixo x_2=0, x_1\ge 0: para pontos nessa semi-reta (onde x_2=0 e x_1>0) existem dois valores de q_1 com q_2=0, isto é, (q_1,q_2)=(\pm\sqrt{2x_1},0) ambos mapeiam para o mesmo ponto. Em outras palavras, há uma linha de coordenada singular (ou linha de ramificação) ao longo de x_2=0,\;x_1\ge 0. Isso é típico de coordenadas definidas por potência/parabólicas.
  • Para os demais pontos do plano x_1x_2 o mapa é bijetivo com a escolha q_2\ge0.

Passo 12

Como esboçar na prática (passo-a-passo para a prova — método rápido):
  1. Trace o eixo x_1 horizontal e x_2 vertical. Marque alguns valores de |q_1| e q_2.
  2. Para cada a fixe q_1=a: desenhe a parábola de vértice em \big(\tfrac{a^2}{2},0\big) abrindo para a esquerda. Use q_2 como parâmetro (positivos e negativos de x_2 aparecem porque q_1 varia).
  3. Para cada b fixe q_2=b: desenhe a parábola de vértice em \big(-\tfrac{b^2}{2},0\big) abrindo para a direita.
  4. Verifique que as interseções são ortogonais e que em 3D cada uma dessas curvas se estende paralelamente ao eixo x_3 (eleve-as para várias alturas).
  5. Desenhe algumas retas verticais correspondentes a q_1,q_2 fixos (mudar só q_3).
    Dica: começar desenhando as parábolas para pequenos valores de a,b (vértices perto da origem) e depois para valores maiores (vértices mais afastados).

Passo 13

Exemplo numérico rápido para visualização: escolha q_1=1 (então vértice em (1/2,0)) e q_2=1 (vértice em (-1/2,0)). A parábola q_1=1 tem equação x_1=\tfrac{1}{2}-\tfrac{x_2^2}{2}; a parábola q_2=1 tem x_1=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{x_2^2}{2}. Elas se cruzam ortogonalmente, e sua interseção para q_1=1,q_2=1 é o ponto \big(\tfrac{1}{2}(1-1),1\cdot1\big)=(0,1). Elevando para x_3 qualquer, isso dá a reta (0,1,x_3).

Resposta

q_3=const : planos horizontais }x_3=const.\newline
q_1=const : cilindros parabólicos cujas curvas no plano }x_3=constsão parábolasx_1=\tfrac{a2}{2}-\tfrac{x_22}{2a^2}(vértice em(\tfrac{a^2}{2},0)) que abrem para a esquerda.\newline
q_2=const : cilindros parabólicos cujas curvas no plano }x_3=constsão parábolasx_1=-\tfrac{b2}{2}+\tfrac{x_22}{2b^2}(vértice em(-\tfrac{b^2}{2},0)) que abrem para a direita.\newline
Curvas de coordenadas : interseção de }q_1=aeq_2=bé o ponto(x_1,x_2)=\big(\tfrac{1}{2}(a2-b2),ab\big)e variandoq_3gera reta paralela ax_3.\newline
Ortogonaliade : as famílias são mutuamente ortogonais (verificável por } \mathbf{r}{q_1}\cdot\mathbf{r}{q_2}=0).\newline
Fatores de escala : }h_1=h_2=\sqrt{q_12+q_22},;h_3=1, edV=(q_12+q_22),dq_1dq_2dq_3.\newline
Singularidade/ramificação : há ambiguidade na semi-reta }x_2=0,;x_1\ge0(linha de ramificação), típica da natureza quadrática do mapaz=\tfrac{1}{2}w^2.

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