Descreva e esboce as superfícies e curvas de coordenadas para coordenadas parabólicas cilíndricas:
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva e esboce as superfícies de coordenadas (ou seja, os conjuntos obtidos fixando uma coordenada) e as curvas de coordenadas (as interseções dessas superfícies) para a transformação
com as faixas
Informações relevantes fornecidas:
Vou, passo a passo, caracterizar as superfícies
const,
const e
const, explicar as curvas obtidas pela interseção entre elas, mostrar ortogonalidade e fatores de escala, discutir singularidades/duplicidades e dar instruções de esboço.
Passo 2
Interpretação útil (intuição geométrica): escrevo
Então, observamos que
Isso significa que o mapeamento
é, up to escala, a aplicação quadrática complexa que envia reticulados em
em uma malha de parábolas no plano
. Essa observação já antecipa que as curvas constantes de
e
serão parábolas no plano
.
Passo 3
Calculo os vetores tangentes associados às coordenadas (útil para checar ortogonalidade e fatores de escala). A posição no espaço é
Derivando:
Esses vetores representam as direções em que
varia se eu mudar apenas
, apenas
ou apenas
.
Passo 4
Ortogonaliade das coordenadas: calculo produtos escalares
Portanto as superfícies coordenadas são mutuamente ortogonais: este é um sistema ortogonal de coordenadas (parabólicas cilíndricas).
Passo 5
Fatores de escala (importante para esboços e para entender densidade de linhas): normas dos vetores tangentes
Logo os fatores de escala são
O elemento de comprimento é
e o elemento de volume é
Passo 6
Caracterização das superfícies
const: como
, cada superfície
é simplesmente o plano horizontal
Essas são planas, paralelas ao plano
. Ao esboçar, pense em “fatias” horizontais do espaço: em cada fatia teremos a malha curva gerada por
.
Passo 7
Superfícies
const. Fixe
(com
real). Parametrizando por
obtemos
Para cada valor de
(ou seja, em cada plano horizontal) a curva com
é dada no plano
const por
Isso é uma parábola em função de
: tem vértice em
e abre na direção negativa de
(ou seja, “para a esquerda”). A parábola é simétrica em relação à reta
. No espaço 3D, a superfície
é a cilindro parabólico obtido ao “levantar” essa parábola para todas as alturas
.
Observações sobre o caso
: então
,
, é o semi-eixo negativo em
ao longo da linha
(mas
dá apenas a parte com
).
Passo 8
Superfícies
const. Fixe
. Parametrizando por
obtemos
Eliminando
(use
quando
) resulta
Isto é outra família de parábolas no plano
const, com vértice em
e que abre na direção positiva de
(ou seja, “para a direita”). No espaço 3D,
é novamente um cilindro parabólico, obtido ao elevar a parábola para todas as alturas
.
Caso especial
:
. Isso dá o semi-eixo positivo em
sobre
.
Passo 9
Resumo geométrico das duas famílias no plano
const:
- A família
const são parábolas com vértices em e que abrem para a esquerda. - A família
const são parábolas com vértices em e que abrem para a direita.
Essas duas famílias se cruzam ortogonalmente (ver Passo 4). No planoconst vemos, portanto, uma malha ortogonal de parábolas, como esperado da transformação .
Passo 10
Curvas de coordenadas (interseções):
- Interseção
e : é a parábola no plano descrita no Passo 7. - Interseção
e : é a parábola no plano descrita no Passo 8. - Interseção
e : fixando ambos, obtém-se um ponto no plano ,
e variando
essa interseção descreve a reta paralela ao eixo
que passa por esse ponto (portanto linhas retas verticais). Assim, as curvas obtidas ao variar apenas
são retas paralelas ao eixo
.
Passo 11
Singularidades / cobertura do mapeamento:
- Pelo fato do mapeamento ser essencialmente uma raiz quadrada complexa invertida (
), há ambiguidade de sinal. A condição serve para escolher uma folha da raiz; mesmo assim existe uma singularidade na semi-reta positiva do eixo , : para pontos nessa semi-reta (onde e ) existem dois valores de com , isto é, ambos mapeiam para o mesmo ponto. Em outras palavras, há uma linha de coordenada singular (ou linha de ramificação) ao longo de . Isso é típico de coordenadas definidas por potência/parabólicas. - Para os demais pontos do plano
o mapa é bijetivo com a escolha .
Passo 12
Como esboçar na prática (passo-a-passo para a prova — método rápido):
- Trace o eixo
horizontal e vertical. Marque alguns valores de e . - Para cada
fixe : desenhe a parábola de vértice em abrindo para a esquerda. Use como parâmetro (positivos e negativos de aparecem porque varia). - Para cada
fixe : desenhe a parábola de vértice em abrindo para a direita. - Verifique que as interseções são ortogonais e que em 3D cada uma dessas curvas se estende paralelamente ao eixo
(eleve-as para várias alturas). - Desenhe algumas retas verticais correspondentes a
fixos (mudar só ).
Dica: começar desenhando as parábolas para pequenos valores de(vértices perto da origem) e depois para valores maiores (vértices mais afastados).
Passo 13
Exemplo numérico rápido para visualização: escolha
(então vértice em
) e
(vértice em
). A parábola
tem equação
; a parábola
tem
. Elas se cruzam ortogonalmente, e sua interseção para
é o ponto
. Elevando para
qualquer, isso dá a reta
.
Resposta
q_3=const : planos horizontais }x_3=const.\newline
q_1=const : cilindros parabólicos cujas curvas no plano }x_3=constsão parábolasx_1=\tfrac{a2}{2}-\tfrac{x_22}{2a^2}(vértice em(\tfrac{a^2}{2},0)) que abrem para a esquerda.\newline
q_2=const : cilindros parabólicos cujas curvas no plano }x_3=constsão parábolasx_1=-\tfrac{b2}{2}+\tfrac{x_22}{2b^2}(vértice em(-\tfrac{b^2}{2},0)) que abrem para a direita.\newline
Curvas de coordenadas : interseção de }q_1=aeq_2=bé o ponto(x_1,x_2)=\big(\tfrac{1}{2}(a2-b2),ab\big)e variandoq_3gera reta paralela ax_3.\newline
Ortogonaliade : as famílias são mutuamente ortogonais (verificável por } \mathbf{r}{q_1}\cdot\mathbf{r}{q_2}=0).\newline
Fatores de escala : }h_1=h_2=\sqrt{q_12+q_22},;h_3=1, edV=(q_12+q_22),dq_1dq_2dq_3.\newline
Singularidade/ramificação : há ambiguidade na semi-reta }x_2=0,;x_1\ge0(linha de ramificação), típica da natureza quadrática do mapaz=\tfrac{1}{2}w^2.
q_1=const : cilindros parabólicos cujas curvas no plano }x_3=constsão parábolasx_1=\tfrac{a2}{2}-\tfrac{x_22}{2a^2}(vértice em(\tfrac{a^2}{2},0)) que abrem para a esquerda.\newline
q_2=const : cilindros parabólicos cujas curvas no plano }x_3=constsão parábolasx_1=-\tfrac{b2}{2}+\tfrac{x_22}{2b^2}(vértice em(-\tfrac{b^2}{2},0)) que abrem para a direita.\newline
Curvas de coordenadas : interseção de }q_1=aeq_2=bé o ponto(x_1,x_2)=\big(\tfrac{1}{2}(a2-b2),ab\big)e variandoq_3gera reta paralela ax_3.\newline
Ortogonaliade : as famílias são mutuamente ortogonais (verificável por } \mathbf{r}{q_1}\cdot\mathbf{r}{q_2}=0).\newline
Fatores de escala : }h_1=h_2=\sqrt{q_12+q_22},;h_3=1, edV=(q_12+q_22),dq_1dq_2dq_3.\newline
Singularidade/ramificação : há ambiguidade na semi-reta }x_2=0,;x_1\ge0(linha de ramificação), típica da natureza quadrática do mapaz=\tfrac{1}{2}w^2.