Obtenha o vetor
em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para obter o vetor
dado em coordenadas cartesianas
em coordenadas esféricas. Informações dadas que vamos usar: os componentes cartesianas do vetor são
,
e
. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Definição das coordenadas e das relações entre coordenadas cartesianas
e esféricas
. Vou usar a convenção usual:
onde
é o ângulo polar (colatitude, medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal (medido no plano
a partir do eixo
).
Passo 3
Substituo
nas expressões dos componentes cartesianas do vetor. As componentes cartesianas do vetor
são
Passo 4
Explico como obter as componentes esféricas
. As componentes em base esférica são dadas pelas projeções do vetor nas direções
, ou seja:
Usando as relações escalares entre as bases cartesianas e esféricas (obtidas facilmente pela definição das bases), obtemos as fórmulas práticas:
Breve explicação: cada coeficiente é a soma dos produtos das componentes cartesianas pelos cossenos angulares entre as direções correspondentes (por exemplo,
, etc.). Essas fórmulas são diretamente aplicáveis com
que calculámos no passo anterior.
Passo 5
Calculo
substituindo
:
Posso fatorar
se quiser uma forma compacta:
Passo 6
Calculo
substituindo
:
Também podemos escrever de forma factorizada:
Passo 7
Calculo
substituindo
:
Fatorando
:
Passo 8
Monto o vetor
em coordenadas esféricas com as componentes encontradas:
onde
são as expressões dos passos anteriores.