Obtenha o vetor \vec{A}=2 x_{2} \hat{\imath}_{1}-x_{3} \hat{\imath}_{2}+3 x_{1} \hat{\imath}_{3} em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para obter o vetor \vec{A} dado em coordenadas cartesianas
\vec{A}=2 x_{2} \hat{\imath}_{1}-x_{3} \hat{\imath}_{2}+3 x_{1} \hat{\imath}_{3}
em coordenadas esféricas. Informações dadas que vamos usar: os componentes cartesianas do vetor são A_{x}=2x_{2}, A_{y}=-x_{3} e A_{z}=3x_{1}. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Definição das coordenadas e das relações entre coordenadas cartesianas (x_{1},x_{2},x_{3}) e esféricas (r,\theta,\varphi). Vou usar a convenção usual:
\begin{aligned} x_{1}&=x=r\;=\;r\sin\theta\cos\varphi,\\\ x_{2}&=y\;=\;r\sin\theta\sin\varphi,\\\ x_{3}&=z\;=\;r\cos\theta, \end{aligned}
onde \theta é o ângulo polar (colatitude, medido a partir do eixo z) e \varphi é o ângulo azimutal (medido no plano xy a partir do eixo x).

Passo 3

Substituo x_{1},x_{2},x_{3} nas expressões dos componentes cartesianas do vetor. As componentes cartesianas do vetor \vec A são
\begin{aligned} A_{x}&=2x_{2}=2(r\sin\theta\sin\varphi)=2r\sin\theta\sin\varphi,\\\ A_{y}&=-x_{3}=-(r\cos\theta)=-r\cos\theta,\\\ A_{z}&=3x_{1}=3(r\sin\theta\cos\varphi)=3r\sin\theta\cos\varphi. \end{aligned}

Passo 4

Explico como obter as componentes esféricas A_{r},A_{\theta},A_{\varphi}. As componentes em base esférica são dadas pelas projeções do vetor nas direções \hat r,\hat\theta,\hat\varphi, ou seja:
\begin{aligned} A_{r}&=\vec A\cdot\hat r,\\\ A_{\theta}&=\vec A\cdot\hat\theta,\\\ A_{\varphi}&=\vec A\cdot\hat\varphi. \end{aligned}
Usando as relações escalares entre as bases cartesianas e esféricas (obtidas facilmente pela definição das bases), obtemos as fórmulas práticas:
\begin{aligned} A_{r}&=A_{x}\sin\theta\cos\varphi + A_{y}\sin\theta\sin\varphi + A_{z}\cos\theta,\\\ A_{\theta}&=A_{x}\cos\theta\cos\varphi + A_{y}\cos\theta\sin\varphi - A_{z}\sin\theta,\\\ A_{\varphi}&=-A_{x}\sin\varphi + A_{y}\cos\varphi. \end{aligned}
Breve explicação: cada coeficiente é a soma dos produtos das componentes cartesianas pelos cossenos angulares entre as direções correspondentes (por exemplo, \hat r\cdot\hat x=\sin\theta\cos\varphi, etc.). Essas fórmulas são diretamente aplicáveis com A_x,A_y,A_z que calculámos no passo anterior.

Passo 5

Calculo A_{r} substituindo A_{x},A_{y},A_{z}:
\begin{aligned} A_{r} &= (2r\sin\theta\sin\varphi)\sin\theta\cos\varphi + (-r\cos\theta)\sin\theta\sin\varphi + (3r\sin\theta\cos\varphi)\cos\theta\\[4pt] &= 2r\sin^{2}\theta\sin\varphi\cos\varphi - r\cos\theta\sin\theta\sin\varphi + 3r\sin\theta\cos\theta\cos\varphi. \end{aligned}
Posso fatorar r\sin\theta se quiser uma forma compacta:
A_{r}=r\sin\theta\bigl(2\sin\theta\sin\varphi\cos\varphi - \cos\theta\sin\varphi + 3\cos\theta\cos\varphi\bigr).]

Passo 6

Calculo A_{\theta} substituindo A_{x},A_{y},A_{z}:
\begin{aligned} A_{\theta} &= (2r\sin\theta\sin\varphi)\cos\theta\cos\varphi + (-r\cos\theta)\cos\theta\sin\varphi - (3r\sin\theta\cos\varphi)\sin\theta\\[4pt] &= 2r\sin\theta\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi - r\cos^{2}\theta\sin\varphi - 3r\sin^{2}\theta\cos\varphi. \end{aligned}
Também podemos escrever de forma factorizada:
A_{\theta}=r\Bigl(2\sin\theta\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi - \cos^{2}\theta\sin\varphi - 3\sin^{2}\theta\cos\varphi\Bigr).]

Passo 7

Calculo A_{\varphi} substituindo A_{x},A_{y}:
\begin{aligned} A_{\varphi} &= -(2r\sin\theta\sin\varphi)\sin\varphi + (-r\cos\theta)\cos\varphi\\[4pt] &= -2r\sin\theta\sin^{2}\varphi - r\cos\theta\cos\varphi. \end{aligned}
Fatorando r:
A_{\varphi}= -r\bigl(2\sin\theta\sin^{2}\varphi + \cos\theta\cos\varphi\bigr).]

Passo 8

Monto o vetor \vec A em coordenadas esféricas com as componentes encontradas:
\vec A = A_{r}\,\hat r + A_{\theta}\,\hat\theta + A_{\varphi}\,\hat\varphi,
onde A_{r},A_{\theta},A_{\varphi} são as expressões dos passos anteriores.

Resposta

\vec{A}= \bigl[\,2r\sin^{2}\theta\sin\varphi\cos\varphi - r\cos\theta\sin\theta\sin\varphi + 3r\sin\theta\cos\theta\cos\varphi\,\bigr]\hat r
\quad + \bigl[\,2r\sin\theta\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi - r\cos^{2}\theta\sin\varphi - 3r\sin^{2}\theta\cos\varphi\,\bigr]\hat\theta
\quad + \bigl[\, -2r\sin\theta\sin^{2}\varphi - r\cos\theta\cos\varphi\,\bigr]\hat\varphi

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