Encontre a relação entre os vetores unitários associados ao sistema de coordenadas esférico e aqueles
do sistema cartesiano.
Passo 1
O enunciado pede a relação entre os vetores unitários do sistema de coordenadas esférico e os vetores unitários cartesianoss
. Vou assumir a convenção usual de coordenadas esféricas:
onde
é o ângulo polar (colatitude), isto é, o ângulo medido a partir do eixo
(varia entre
e
), e
é o ângulo azimutal no plano
medido a partir do eixo
(varia entre
e
). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas que vamos usar como dados são:
A tarefa é escrever os vetores unitários esféricos
em função de
(e também, para completude, as inversas).
Passo 2
Conceito que vamos usar (sem entrar em detalhes técnicos demais): o vetor posição em coordenadas cartesianas é
onde
são funções de
dadas no passo anterior. Escrevendo
em função de
temos:
Os vetores que dão as direções dos eixos coordenados curvilíneos são as derivadas parciais de
em relação a
. Para obter os vetores unitários associados às direções, derivamos e normalizamos quando necessário.
Passo 3
Derivada parcial de
em relação a
:
Esse vetor já tem norma
(é paralelo ao vetor posição dividido por
), logo é o vetor unitário radial. Portanto
Interpretação:
aponta radialmente para fora, e suas componentes são as projeções do vetor radial nos eixos cartesianoss.
Passo 4
Derivada parcial de
em relação a
:
Esse vetor tem norma
. Dividindo por
obtemos o vetor unitário na direção de aumento de
:
Interpretação:
aponta para “baixo” quando
aumenta (no sentido de diminuir a componente
quando
cresce).
Passo 5
Derivada parcial de
em relação a
:
Esse vetor tem norma
. Dividindo por
(assumindo
; no eixo polar
não é bem definida, como de costume) obtemos
Interpretação:
é tangente paralelo ao plano
, apontando no sentido de aumento de
.
Passo 6
Resumo das expressões (chegamos às relações pedidas):
Esses três vetores são ortonormais em cada ponto (ou seja, mutuamente perpendiculares e de norma
), como pode ser verificado calculando produto escalar entre eles.
Passo 7
Para completar, as relações inversas (expressar
em função de
) seguem do fato de que a matriz formada pelas componentes de
é ortogonal; portanto a inversa é a transposta. Calculando os produtos escalares
obtemos: