Encontre a relação entre os vetores unitários associados ao sistema de coordenadas esférico e aqueles \left(\hat{\imath}_{1}, \hat{\imath}_{2}, \hat{\imath}_{3}\right) do sistema cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede a relação entre os vetores unitários do sistema de coordenadas esférico e os vetores unitários cartesianoss \left(\hat{\imath}_{1},\hat{\imath}_{2},\hat{\imath}_{3}\right). Vou assumir a convenção usual de coordenadas esféricas:
(r,\theta,\varphi),
onde \theta é o ângulo polar (colatitude), isto é, o ângulo medido a partir do eixo \hat{\imath}_{3} (varia entre 0 e \pi), e \varphi é o ângulo azimutal no plano x\!y medido a partir do eixo \hat{\imath}_{1} (varia entre 0 e 2\pi). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas que vamos usar como dados são:
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
A tarefa é escrever os vetores unitários esféricos \hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi em função de \hat{\imath}_{1},\hat{\imath}_{2},\hat{\imath}_{3} (e também, para completude, as inversas).

Passo 2

Conceito que vamos usar (sem entrar em detalhes técnicos demais): o vetor posição em coordenadas cartesianas é
\mathbf{r} = x\,\hat{\imath}_{1} + y\,\hat{\imath}_{2} + z\,\hat{\imath}_{3},
onde x,y,z são funções de (r,\theta,\varphi) dadas no passo anterior. Escrevendo \mathbf{r} em função de (r,\theta,\varphi) temos:
\mathbf{r}(r,\theta,\varphi)=r\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{1}+r\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{2}+r\cos\theta\,\hat{\imath}_{3}.
Os vetores que dão as direções dos eixos coordenados curvilíneos são as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação a r,\theta,\varphi. Para obter os vetores unitários associados às direções, derivamos e normalizamos quando necessário.

Passo 3

Derivada parcial de \mathbf{r} em relação a r:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial r}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{2}+\cos\theta\,\hat{\imath}_{3}.
Esse vetor já tem norma 1 (é paralelo ao vetor posição dividido por r), logo é o vetor unitário radial. Portanto
\hat{e}_r=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{2}+\cos\theta\,\hat{\imath}_{3}.
Interpretação: \hat{e}_r aponta radialmente para fora, e suas componentes são as projeções do vetor radial nos eixos cartesianoss.

Passo 4

Derivada parcial de \mathbf{r} em relação a \theta:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=r\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{1}+r\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{2}-r\sin\theta\,\hat{\imath}_{3}.
Esse vetor tem norma r. Dividindo por r obtemos o vetor unitário na direção de aumento de \theta:
\hat{e}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{2}-\sin\theta\,\hat{\imath}_{3}.
Interpretação: \hat{e}_\theta aponta para “baixo” quando \theta aumenta (no sentido de diminuir a componente z quando \theta cresce).

Passo 5

Derivada parcial de \mathbf{r} em relação a \varphi:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi}=-r\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{1}+r\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{2}+0\cdot\hat{\imath}_{3}.
Esse vetor tem norma r\sin\theta. Dividindo por r\sin\theta (assumindo \sin\theta\neq0; no eixo polar \hat{e}_\varphi não é bem definida, como de costume) obtemos
\hat{e}_\varphi=-\sin\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\cos\varphi\,\hat{\imath}_{2}.
Interpretação: \hat{e}_\varphi é tangente paralelo ao plano x\!y, apontando no sentido de aumento de \varphi.

Passo 6

Resumo das expressões (chegamos às relações pedidas):
\hat{e}_r=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{2}+\cos\theta\,\hat{\imath}_{3},
\hat{e}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{2}-\sin\theta\,\hat{\imath}_{3},
\hat{e}_\varphi=-\sin\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\cos\varphi\,\hat{\imath}_{2}.
Esses três vetores são ortonormais em cada ponto (ou seja, mutuamente perpendiculares e de norma 1), como pode ser verificado calculando produto escalar entre eles.

Passo 7

Para completar, as relações inversas (expressar \hat{\imath}_{1},\hat{\imath}_{2},\hat{\imath}_{3} em função de \hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi) seguem do fato de que a matriz formada pelas componentes de \{\hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi\} é ortogonal; portanto a inversa é a transposta. Calculando os produtos escalares \hat{\imath}_k\cdot\hat{e}_\alpha obtemos:
\hat{\imath}_{1}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{e}_r+\cos\theta\cos\varphi\,\hat{e}_\theta-\sin\varphi\,\hat{e}_\varphi,
\hat{\imath}_{2}=\sin\theta\sin\varphi\,\hat{e}_r+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{e}_\theta+\cos\varphi\,\hat{e}_\varphi,
\hat{\imath}_{3}=\cos\theta\,\hat{e}_r-\sin\theta\,\hat{e}_\theta.

Resposta

\hat{e}_r=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{2}+\cos\theta\,\hat{\imath}_{3}
\hat{e}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\imath}_{2}-\sin\theta\,\hat{\imath}_{3}
\hat{e}_\varphi=-\sin\varphi\,\hat{\imath}_{1}+\cos\varphi\,\hat{\imath}_{2}
\hat{\imath}_{1}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{e}_r+\cos\theta\cos\varphi\,\hat{e}_\theta-\sin\varphi\,\hat{e}_\varphi
\hat{\imath}_{2}=\sin\theta\sin\varphi\,\hat{e}_r+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{e}_\theta+\cos\varphi\,\hat{e}_\varphi
\hat{\imath}_{3}=\cos\theta\,\hat{e}_r-\sin\theta\,\hat{e}_\theta

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