Descreva o espaço das soluções do sistema linear:
\left\{\begin{array}{c} x+2 y+2 z=0 \\ 2 x+2 y+5 z+3 w=0 \\ 4 x+4 y+10 z+3 w=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a descrição do espaço das soluções do sistema homogêneo
\begin{cases} x + 2y + 2z = 0,\\\\ 2x + 2y + 5z + 3w = 0,\\\\ 4x + 4y + 10z + 3w = 0. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos e vamos usar eliminação de Gauss para encontrar dependências entre as variáveis.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos eliminação nas linhas.
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & 5 & 3 & 0\\\\ 4 & 4 &10 & 3 & 0 \end{array}\right] \;\xrightarrow{L_2\gets L_2-2L_1,\;L_3\gets L_3-4L_1}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 &-2 & 1 & 3 & 0\\\\ 0 &-4 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Continuamos a eliminação para zerar a entrada a_{32}:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 &-2 & 1 & 3 & 0\\\\ 0 &-4 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right] \;\xrightarrow{L_3\gets L_3-2L_2}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 &-2 & 1 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 &-3 & 0 \end{array}\right].
Da última linha obtemos -3w=0, logo
w = 0.

Passo 4

Substituindo w=0 na segunda linha:
-2y + z + 3\cdot 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = 2y.
Na primeira linha:
x + 2y + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + 2y + 2(2y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + 6y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -6y.

Passo 5

Escolhendo y como parâmetro livre, digamos y = t\in\mathbb{R}, temos
x = -6t,\quad y = t,\quad z = 2t,\quad w = 0.
Portanto, o espaço das soluções é a reta em \mathbb{R}^4 dada por
\{\,t(-6,1,2,0)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4\mid x=-6t,\;y=t,\;z=2t,\;w=0,\;t\in\mathbb{R}\}
ou equivalentemente
\{\,t(-6,1,2,0)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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