Seja \mathbf{V} o conjunto de todos os pares ordenados (a,b). Mostre que \mathbf{V} não é um Espaço Vetorial com adição e multiplicação por escalar dadas por:
(\mathrm{a}, \mathrm{b})+(\mathrm{c}, \mathrm{d})=(\mathrm{a}+\mathrm{c}, \mathrm{b}+\mathrm{d}) e \alpha(\mathrm{a}, \mathrm{b})=(\mathrm{a}, \mathrm{b});

Passo 1

O enunciado define o conjunto \mathbf V de todos os pares ordenados (a,b) com a adição usual
(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d)
e com a multiplicação por escalar dada por
\alpha\,(a,b)=(a,b)
para todo \alpha\in\mathbb R. Queremos verificar se \mathbf V satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb R.

Passo 2

Um dos axiomas de espaço vetorial exige que, para todo vetor v\in\mathbf V,
0\cdot v = \mathbf 0,
onde 0 é o escalar nulo e \mathbf 0=(0,0) é o vetor nulo em \mathbf V.

Passo 3

Escolhendo um vetor genérico v=(a,b), temos segundo a definição
0\cdot (a,b) = (a,b).
Para que o axioma fosse válido, teríamos de ter
(a,b) = (0,0)
para todo (a,b), o que não vale se (a,b)\neq(0,0). Logo, o axioma falha.

Resposta

\mathbf V não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma 0\cdot v = \mathbf 0.

Exercícios relacionados