Seja \mathbf{V} o conjunto de todos os pares ordenados (a,b). Mostre que \mathbf{V} não é um Espaço Vetorial com adição e multiplicação por escalar dadas por:
(\mathbf{a}, \mathbf{b})+(\mathbf{c}, \mathbf{d})=(\mathbf{a c}, \mathbf{b d}) e \alpha(\mathbf{a}, \mathbf{b})=(\alpha \mathbf{a}, \alpha \mathbf{b}).

Passo 1

O enunciado define o conjunto \mathbf V de pares ordenados (a,b) com as operações de soma
(a,b)+(c,d)=(ac,bd)
e de multiplicação por escalar
\alpha\cdot(a,b)=(\alpha a,\alpha b).
Para ser espaço vetorial sobre \mathbb R, uma das condições é a distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
\alpha\,(u+v)=\alpha u+\alpha v\quad\forall u,v\in\mathbf V,\\ \forall\alpha\in\mathbb R.

Passo 2

Tomando u=(a,b) e v=(c,d), temos
u+v=(ac,bd),
portanto
\alpha\,(u+v)=\alpha\,(ac,bd)=(\alpha\,ac,\;\alpha\,bd).
Por outro lado,
\alpha u+ \alpha v=(\alpha a,\alpha b)+(\alpha c,\alpha d) =(\alpha a\cdot\alpha c,\;\alpha b\cdot\alpha d) =(\alpha^2\,ac,\;\alpha^2\,bd).
Em geral \alpha\,ac\neq\alpha^2\,ac para \alpha\neq0,1, logo
\alpha\,(u+v)\neq\alpha u+\alpha v.

Passo 3

Como falha a distributividade do produto escalar em relação à soma de vetores, a estrutura dada não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.

Resposta

\mathbf V não é um espaço vetorial sobre \mathbb R.

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