Descreva os espaços de colunas (retas ou planos) destas matrizes particulares:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o espaço de colunas de cada uma das matrizes
A,;B,;CinR^3times2
O espaço de colunas (ou coluna-space) de uma matriz é o subespaço de R^3 gerado pelas suas colunas. Vamos usar definição de span e verificar dependência linear entre as colunas.

Passo 2

Definição: para uma matriz MinR^3times2 com colunas m1 e m2, o espaço de colunas é
C(M)=spanm1,m2 =,alpha,m1+beta,m2midalpha,betainR
O passo seguinte é identificar quais colunas são múltiplos umas das outras (para linhas) ou independentemente geram um plano.

Passo 3

Matriz A:
A= 1 & 2 0 & 0 0 & 0
As colunas são a1=(1,0,0) e a2=(2,0,0), e nota-se que a2=2,a1. Logo o espaço de colunas é uma reta em R^3:
C(A) =span(1,0,0) =(x,0,0)mid xinR

Passo 4

Matriz B:
B= 1 & 0 0 & 2 0 & 0
As colunas são b1=(1,0,0) e b2=(0,2,0). Como nenhuma é múltiplo da outra, elas são linearmente independentes e geram um plano em R^3:
C(B) =span(1,0,0),(0,2,0) =(x,y,0)mid x,yinR

Passo 5

Matriz C:
C= 1 & 0 2 & 0 0 & 0
As colunas são c1=(1,2,0) e c2=(0,0,0). A segunda coluna é o vetor nulo, então só sobra uma direção não-trivial. O espaço de colunas é novamente uma reta em R^3:
C(C) =span(1,2,0) =(x,2x,0)mid xinR

Resposta

C(A)=(x,0,0)mid xinR (reta ao longo do eixo x);
C(B)=(x,y,0)mid x,yinR (plano xy);
C(C)=(x,2x,0)mid xinR (reta de direção (1,2,0)).

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