As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Verdadeiro ou falso? Justifique.
As matrizes antisimétricas em
formam um subespaço.
Verdadeiro ou falso? Justifique.
As matrizes antisimétricas em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
das matrizes antissimétricas é um subespaço de
. Para isso precisamos checar três condições: (i)
não é vazio (normalmente verificando que a matriz zero está em
), (ii)
é fechado sob soma e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostrar que
. A matriz zero satisfaz
portanto
é antissimétrica e
. Assim
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob soma. Se
, então
Logo
ou seja,
também é antissimétrica, logo
.
Passo 4
Fechamento sob escalar. Se
e
, então
ou seja,
também é antissimétrica, logo
.
Resposta
Verdadeiro. As matrizes antissimétricas formam um subespaço de
.