As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Verdadeiro ou falso? Justifique.
As matrizes antisimétricas em M(com A^T=-A) formam um subespaço.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = Ain Mn(R) mid A^T = -A
das matrizes antissimétricas é um subespaço de Mn(R). Para isso precisamos checar três condições: (i) W não é vazio (normalmente verificando que a matriz zero está em W), (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostrar que 0in W. A matriz zero satisfaz
0^T = 0 = -0,
portanto 0 é antissimétrica e 0in W. Assim W não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma. Se A,Bin W, então
A^T = -A e B^T = -B
Logo
(A+B)^T = A^T + B^T = -A + (-B) = -(A+B),
ou seja, A+B também é antissimétrica, logo A+Bin W.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Se Ain W e cinR, então
(cA)^T = c,A^T = c,(-A) = -(cA),
ou seja, cA também é antissimétrica, logo cAin W.

Resposta

Verdadeiro. As matrizes antissimétricas formam um subespaço de Mn(R).

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