As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Verdadeiro ou falso? Justifique.
As matrizes não simétricas em M(com A^T neq A) formam um subespaço.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = A in Mntimes n(R) mid A^T neq A
é um subespaço de Mntimes n(R). Lembre-se de que um subconjunto é subespaço se, e somente se, satisfaz dois requisitos:
1. Fechamento sob soma: para quaisquer A,Bin S deve ter A+Bin S.
2. Fechamento sob multiplicação escalar: para todo cinR e Ain S deve ter cAin S.

Passo 2

Verificação do fechamento sob multiplicação escalar: seja Ain S, ou seja A^Tneq A. Para cneq 0 temos
(cA)^T = c,A^T neq c,A,
pois multiplica-se a diferença não nula A^T - A por cneq 0. Logo cA continua não simétrica e está em S.
Observação: para c=0 tem 0cdot A = 0 e (0cdot A)^T=0, que é simétrico e não pertence a S. Portanto o conjunto não é fechado sob todos os escalares, mas apenas sob cneq0.

Passo 3

Verificação do fechamento sob soma: escolhemos dois exemplos simples em M2times 2(R):
A = 0 & 1[6pt] 0 & 0, B = 0 & 0[6pt] 1 & 0
Claramente A^T neq A e B^T neq B, então A,B in S. Mas
A + B = 0 & 1[4pt] 1 & 0,
e essa matriz satisfaz (A+B)^T = A+B, ou seja é simétrica, logo A+B notin S. Portanto falta fechamento sob soma.]

Resposta

Falso. O conjunto das matrizes não simétricas não é subespaço, pois falha em permanecer fechado sob soma (e também sob o escalar c=0).

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