As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Verdadeiro ou falso? Justifique.
As matrizes não simétricas em
formam um subespaço.
Verdadeiro ou falso? Justifique.
As matrizes não simétricas em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Lembre-se de que um subconjunto é subespaço se, e somente se, satisfaz dois requisitos:
. Fechamento sob soma: para quaisquer
deve ter
.
. Fechamento sob multiplicação escalar: para todo
e
deve ter
.
Passo 2
Verificação do fechamento sob multiplicação escalar: seja
, ou seja
. Para
temos
pois multiplica-se a diferença não nula
por
. Logo
continua não simétrica e está em
.
Observação: para tem
e
, que é simétrico e não pertence a
. Portanto o conjunto não é fechado sob todos os escalares, mas apenas sob
.
Observação: para
Passo 3
Verificação do fechamento sob soma: escolhemos dois exemplos simples em
:
Claramente
e
, então
. Mas
e essa matriz satisfaz
, ou seja é simétrica, logo
. Portanto falta fechamento sob soma.]
Resposta
Falso. O conjunto das matrizes não simétricas não é subespaço, pois falha em permanecer fechado sob soma (e também sob o escalar
).