Prove que:
a)
são subgrupos normais de
.
a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
e
são subgrupos normais de
. Vamos usar a definição de subgrupo normal: um subgrupo
de
é normal se, para todo
e todo
, tivermos
.
Passo 2
Mostrando que
é subgrupo normal de
:
-
é subgrupo porque contém a identidade , está fechado (o único produto possível é ) e o inverso de é . - Para a normalidade, tome qualquer
e qualquer . Como só existe , vale
logo
. Portanto
é normal.
Passo 3
Mostrando que
é subgrupo normal de si mesmo:
-
é subgrupo de trivialmente (fechado, tem identidade e inversos). - Para a normalidade, tome quaisquer
e . Como é fechado sob produto e inverso,
Assim,
é normal.