Prove que:
a) e, G são subgrupos normais de G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que e e G são subgrupos normais de G. Vamos usar a definição de subgrupo normal: um subgrupo H de G é normal se, para todo gin G e todo hin H, tivermos g,h,g^-1in H.

Passo 2

Mostrando que e é subgrupo normal de G:
  1. e é subgrupo porque contém a identidade e, está fechado (o único produto possível é ecdot e=e) e o inverso de e é e.
  2. Para a normalidade, tome qualquer gin G e qualquer hine. Como só existe h=e, vale
g,h,g^-1 = g,e,g^-1 = g,g^-1 = e,
logo g,h,g^-1ine. Portanto e é normal.

Passo 3

Mostrando que G é subgrupo normal de si mesmo:
  1. G é subgrupo de G trivialmente (fechado, tem identidade e inversos).
  2. Para a normalidade, tome quaisquer gin G e hin G. Como G é fechado sob produto e inverso,
g,h,g^-1in G
Assim, G é normal.

Resposta

e e G são subgrupos normais de G.

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