Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear T: ℝ²→ℝ² por T(x₁,x₂)=(x₁,0). O conteúdo é transformações lineares, mais especificamente projeção de vetores em um dos eixos, e precisamos encontrar a descrição geométrica e a matriz de T na base canônica.
Passo 2
Geometricamente, T pega qualquer vetor em ℝ² e mantém sua componente x (horizontal), enquanto zera a componente y (vertical). Na prática, isso significa projetar ortogonalmente todo vetor sobre o eixo x.
Passo 3
Para montar a matriz de T na base canônica {(1,0),(0,1)}, aplicamos T aos vetores dessa base: T(1,0)=(1,0) e T(0,1)=(0,0). Esses resultados serão as colunas da matriz.
Passo 4
Juntando as colunas obtidas, a matriz de T na base canônica é
Resposta
Geometricamente, T é a projeção de ℝ² sobre o eixo x, anulando a componente y. Sua matriz na base canônica é