Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:
Passo 1
Estamos diante de uma transformação linear em
dada por
. Precisamos entender o que isso faz geometricamente e então encontrar a matriz de
na base canônica.
Passo 2
Para captar a ação de
, observe como cada coordenada se transforma: a primeira coordenada fica com sinal trocado enquanto a segunda permanece igual. Isto significa que qualquer ponto
é refletido em relação ao eixo
(ou eixo
), pois mudamos o sinal da coordenada
e deixamos
intacto.
Passo 3
Para montar a matriz na base canônica, aplicamos
aos vetores da base canônica
e
.
Calculando: e
. As imagens formam as colunas da matriz de
na base canônica.
Calculando:
Passo 4
Portanto, a matriz de
na base canônica é dada por:
Resposta
Transformação
é a reflexão de
em relação ao eixo
.