Exercício 5: Calcule a distância entre as retas lx=2+lambda y=3+lambda z=-1-5 lambda s: X=(1,2,4)+mu(0,-1,-2), mu in R.

Passo 1

Temos as retas rcolon x=2+lambda,;y=3+lambda,;z=-1-5lambda e scolon X=(1,2,4)+mu(0,-1,-2). O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos usar vetores diretores, produto vetorial e triplo escalar para calcular a distância entre retas.

Passo 2

Escolhemos um ponto na reta r, por exemplo A=(2,3,-1), e seu vetor diretor vec vr=(1,1,-5). Na reta s, escolhemos B=(1,2,4) e vec vs=(0,-1,-2). O vetor diretor indica a direção da reta no espaço.

Passo 3

A fórmula da distância mínima entre duas retas no espaço é
d = l|(AB) cdot (vec vr times vec vs)r||vec vr times vec vs|
Primeiro calculamos o produto vetorial:
vec vr times vec vs = (1,1,-5)times(0,-1,-2) = (-7,,2,,-1)
Esse vetor é perpendicular aos diretores das retas.

Passo 4

Agora montamos o vetor que liga A a B:
AB = B - A = (1,2,4)-(2,3,-1) = (-1,-1,5)
Em seguida, calculamos o produto escalar misto:
(AB)cdot(vec vr times vec vs) = (-1)(-7)+(-1)(2)+(5)(-1) = 7 - 2 - 5 = 0
O valor zero indica que o volume do paralelepípedo é nulo.

Passo 5

Como o numerador na fórmula da distância é zero, concluímos que
d = |0||vec vr times vec vs| = 0
Ou seja, as retas se interceptam e a distância entre elas é zero.

Resposta

0

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