Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:

Passo 1

Nesse exercício temos a transformação linear T:R^2toR^2 definida por T(x1,x2)=(-x1,-x2). O conteúdo é transformações lineares em R^2 e precisamos descrever geometricamente o mapeamento e encontrar sua matriz na base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que T é linear. Para u=(x1,x2) e v=(y1,y2):
T(u+v)=T(x1+y1,,x2+y2)=l(-(x1+y1),-(x2+y2)r) =l(-x1,-x2r)+l(-y1,-y2r)=T(u)+T(v)
Para escalar c:
T(c,u)=T(c x1, c x2)=(-(c x1),-(c x2))=c,(-x1,-x2)=c,T(u)
Logo, T é linear. Em geral, a matriz de uma transformação linear é dada pelas imagens dos vetores da base canônica.

Passo 3

Geometricamente, T(x)=(-x) envia cada vetor em seu oposto, invertendo direção mas mantendo o módulo. Isso equivale a uma simetria central em torno da origem (ou rotação de 180^circ).

Passo 4

Para obter a matriz na base canônica, calculamos:
T(1,0)=(-1,0),
T(0,1)=(0,-1)
Essas imagens formam as colunas da matriz de T na base canônica.

Resposta

Geometricamente, T é a simetria central (ou rotação de 180^circ) em torno da origem, que leva cada vetor ao seu oposto. Sua matriz na base canônica é:
-1 & 0 0 & -1

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