Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:
Passo 1
Nesse exercício temos a transformação linear
definida por
. O conteúdo é transformações lineares em
e precisamos descrever geometricamente o mapeamento e encontrar sua matriz na base canônica.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é linear. Para
e
:
Para escalar
:
Logo,
é linear. Em geral, a matriz de uma transformação linear é dada pelas imagens dos vetores da base canônica.
Passo 3
Geometricamente,
envia cada vetor em seu oposto, invertendo direção mas mantendo o módulo. Isso equivale a uma simetria central em torno da origem (ou rotação de
).
Passo 4
Para obter a matriz na base canônica, calculamos:
Essas imagens formam as colunas da matriz de
na base canônica.
Resposta
Geometricamente,
é a simetria central (ou rotação de
) em torno da origem, que leva cada vetor ao seu oposto. Sua matriz na base canônica é: