Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:

Passo 1

Estamos dadas a transformação linear T: R^2 to R^2 definida por T(x1,x2)=(x1,,x2+3x1). Precisamos descrever geometricamente o que esse operador faz e encontrar sua matriz na base canônica de R^2.

Passo 2

Para montar a matriz, calculamos as imagens dos vetores da base canônica e1=(1,0) e e2=(0,1):
T( e1)=T(1,0)=(1,0+3cdot1)=(1,3)
T( e2)=T(0,1)=(0,1+3cdot0)=(0,1)

Passo 3

A matriz de T na base canônica tem colunas dadas por T( e1) e T( e2). Logo,
[T]can=1 & 03 & 1

Passo 4

Geometricamente, cada ponto (x1,x2) é deslocado paralelamente ao eixo x2 (verticalmente) em uma distância proporcional à sua coordenada x1, enquanto a componente x1 permanece inalterada. Isso caracteriza um cisalhamento vertical com eixo de cisalhamento sendo o eixo x2.

Resposta

Geometricamente, T é um cisalhamento vertical que mantém x1 fixo e desloca x2 em função de x1. Sua matriz na base canônica é:
1 & 03 & 1

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