Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
dada por
. O conteúdo aqui é projeção canônica em duas coordenadas. Para resolver, precisamos usar a definição de matriz de uma transformação linear em relação às bases canônicas, que diz que as colunas da matriz são as imagens de cada vetor da base canônica do domínio.
Geometricamente, faz a projeção ortogonal de
no plano
, descartando a coordenada
. Ou seja, qualquer ponto no espaço tridimensional é “achatado” no plano
, mantendo apenas suas duas primeiras componentes.
Geometricamente,
Passo 2
Para encontrar a matriz de
nas bases canônicas, calculamos
aplicado a cada vetor da base canônica de
:
–
–
–
–
–
–
Passo 3
As colunas da matriz são exatamente essas imagens, em ordem. Portanto, a matriz de
em relação às bases canônicas é:
Resposta
Geometricamente,
projeta o ponto
no plano
, descartando
.