Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:

Passo 1

Temos a transformação linear T: R^2toR^2 definida por T(x1,x2)=(-x2,x1). O objetivo é descrever geometricamente o que ela faz e obter sua matriz na base canônica.

Passo 2

Note que a ação (x1,x2)mapsto(-x2,x1) corresponde exatamente a girar cada vetor em R^2 em 90° no sentido anti-horário, pois leva o eixo x ao eixo y positivo e o eixo y ao eixo x negativo, preservando comprimentos e orientações.

Passo 3

Vamos aplicar T aos vetores da base canônica: e1=(1,0) e e2=(0,1). Temos
T(e1)=T(1,0)=(0,1),
T(e2)=T(0,1)=(-1,0)

Passo 4

A matriz de T na base canônica é formada pelas imagens de e1 e e2 como colunas. Assim,
[T]can=T(e1)&T(e2)=0 & -1[6pt]1 & 0

Resposta

Geometricamente, T é uma rotação de 90° no sentido anti-horário; sua matriz na base canônica é 0 & -11 & 0.

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