Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:

Passo 1

O enunciado pede para descrever geometricamente a transformação linear T:R^2toR^2 dada por T(x1,x2)=(-x1,2x2) e determinar sua matriz na base canônica. O conteúdo envolvido é transformações lineares em R^2, reflexão e dilatação, e a obtenção da matriz a partir das imagens dos vetores da base.

Passo 2

Para montar a matriz de T na base canônica, calculamos T(e1) e T(e2), onde e1=(1,0) e e2=(0,1). Temos
T(e1)=T(1,0)=(-1,0),
T(e2)=T(0,1)=(0,2)

Passo 3

As colunas da matriz de T na base canônica são exatamente as coordenadas de T(e1) e T(e2). Logo:
A = -1 & 0[6pt]0 & 2

Passo 4

Para entender geometricamente, note que a componente x1 é refletida (mudança de sinal) — isso é reflexão em relação ao eixo y — e a componente x2 é esticada por fator 2, ou seja, dilatação na direção do eixo y com fator 2.

Resposta

A matriz de T em relação à base canônica é
-1 & 0[6pt]0 & 2
Geometricamente, T corresponde à reflexão dos pontos em relação ao eixo y (fazendo xmapsto -x) seguida de uma dilatação no sentido do eixo y de fator 2.

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