Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:
Passo 1
O enunciado pede para descrever geometricamente a transformação linear
dada por
e determinar sua matriz na base canônica. O conteúdo envolvido é transformações lineares em
, reflexão e dilatação, e a obtenção da matriz a partir das imagens dos vetores da base.
Passo 2
Para montar a matriz de
na base canônica, calculamos
e
, onde
e
. Temos
Passo 3
As colunas da matriz de
na base canônica são exatamente as coordenadas de
e
. Logo:
Passo 4
Para entender geometricamente, note que a componente
é refletida (mudança de sinal) — isso é reflexão em relação ao eixo
— e a componente
é esticada por fator 2, ou seja, dilatação na direção do eixo
com fator 2.
Resposta
A matriz de
em relação à base canônica é
Geometricamente,
corresponde à reflexão dos pontos em relação ao eixo
(fazendo
) seguida de uma dilatação no sentido do eixo
de fator 2.