Exercício 7: Calcule a distância entre as retas r que passa pelos pontos A=(1,2,0) e B=(0,1,2) e s que passa pelos pontos C=(1,1,3) e D=(2,3,5).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre as retas r e s no espaço 3D. A reta r passa por A=(1,2,0) e B=(0,1,2), e a reta s passa por C=(1,1,3) e D=(2,3,5). O conteúdo necessário é geometria analítica espacial: produto vetorial, produto misto e norma de vetores.

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar os vetores diretores das retas. Para a reta r, usamos os pontos A e B e definimos u=AB=B-A. Para a reta s, usamos C e D e definimos v=CD=D-C.

Passo 3

Calculando cada vetor temos:
u=B-A=(0-1,,1-2,,2-0)=(-1,-1,2),
v=D-C=(2-1,,3-1,,5-3)=(1,2,2)

Passo 4

Em seguida calculamos o produto vetorial utimesv.
utimesv=(-1,-1,2)times(1,2,2) =l(-6,,4,,-1r)
A norma desse vetor é
|utimesv|=raiz(-6)^2+4^2+(-1)^2=raiz36+16+1=raiz53

Passo 5

Para usar a fórmula da distância entre retas “skew” escolhemos um vetor que liga um ponto de r a um ponto de s, por exemplo w=AC=A-C:
w=A-C=(1-1,,2-1,,0-3)=(0,1,-3)
O valor absoluto do produto misto wcdot(utimesv) é
|wcdot(utimesv)|=|(0,1,-3)cdot(-6,4,-1)|=|0cdot(-6)+1cdot4+(-3)cdot(-1)|=7
Então a distância é dada por
dist(r,s)=7raiz53

Resposta

\frac{7}{\sqrt{53}}

Exercícios relacionados