Descreva geometricamente o conjunto S dos números complexos z que satisfazem à condição |z-1|=2|z+1|. Faça o mesmo, agora para a condição |1+z| \leq|1-z|.

Passo 1

Resumimos o problema em termos de geometria analítica no plano complexo. Temos dois conjuntos de pontos z\in\mathbb{C}:
  1. S_1=\{z:|z-1|=2|z+1|\}.
  2. S_2=\{z:|1+z|\le|1-z|\}.
    Para descrevê-los, vamos usar a representação z=x+iy e interpretar as condições como loci no plano (x,y).

Passo 2

Analisamos S_1. Seja z=x+iy. Então
|z-1|^2=(x-1)^2+y^2,
|z+1|^2=(x+1)^2+y^2.
A condição |z-1|=2|z+1| equivale a
(x-1)^2+y^2=4\bigl((x+1)^2+y^2\bigr).
Expandindo e agrupando termos, obtemos
x^2-2x+1+y^2=4x^2+8x+4+4y^2
0=3x^2+10x+3+3y^2.

Passo 3

Para identificar o círculo, dividimos por 3 e completamos o quadrado em x:
x^2+y^2+\frac{10}{3}x+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x+\tfrac{5}{3}\bigr)^2+y^2=\frac{16}{9}.
Logo S_1 é o círculo de centro \bigl(-\tfrac{5}{3},0\bigr) e raio \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Analisamos S_2. Seja z=x+iy. Então
|1+z|^2=(x+1)^2+y^2, \qquad |1-z|^2=(1-x)^2+y^2.
A condição |1+z|\le|1-z|
(x+1)^2+y^2\le(1-x)^2+y^2 \quad\Longrightarrow\quad (x+1)^2\le(1-x)^2 \quad\Longrightarrow\quad 4x\le0 \quad\Longrightarrow\quad x\le0.

Resposta

S_1 é o círculo de centro \bigl(-\tfrac{5}{3},0\bigr) e raio \tfrac{4}{3}. S_2 é o semiplano fechado à esquerda do eixo imaginário, ou seja, \{x+iy:x\le0\}.

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