Sejam z=2+3 i e w=4-3 i. Coloque os seguintes números complexos na forma algébrica:
(c) \frac{5 z}{w}

Passo 1

O enunciado dá os complexos z=2+3i e w=4-3i e pede para escrever
\frac{5z}{w}
na forma algébrica a+bi. Para isso, vamos multiplicar por escalar, em seguida racionalizar o denominador usando o conjugado de w.

Passo 2

Primeiro calculamos 5z por multiplicação escalar:
5z = 5\,(2+3i) = 10 + 15i.

Passo 3

Escrevemos então a divisão e planejamos racionalizar:
\frac{5z}{w} = \frac{10 + 15i}{4 - 3i}.
Para eliminar a parte imaginária do denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de w, que é 4+3i.

Passo 4

Calculamos o produto no numerador:
(10 + 15i)(4 + 3i) = 10\cdot4 + 10\cdot3i + 15i\cdot4 + 15i\cdot3i = 40 + 30i + 60i + 45\,i^{2} = 40 + 90i - 45 = -5 + 90i.
E o denominador se torna
(4 - 3i)(4 + 3i) = 4^{2} - (3i)^{2} = 16 - (-9) = 25.

Passo 5

Agora dividimos cada parte real e imaginária por 25:
\frac{-5 + 90i}{25} = -\frac{5}{25} + \frac{90}{25}\,i = -\frac{1}{5} + \frac{18}{5}\,i.

Resposta

-\frac{1}{5} + \frac{18}{5}\,i

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