Dê exemplos mostrando que é possível termos:
\operatorname{Arg}(z w) \neq \operatorname{Arg}(z)+\operatorname{Arg}(w);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, por causa da definição de \Arg como argumento principal num intervalo de largura 2\pi, nem sempre vale
\Arg(z w) \;=\;\Arg(z)+\Arg(w).
Vamos usar a definição de \Arg:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to(-\pi,\pi] e construir exemplos onde a soma dos argumentos sai desse intervalo, forçando um “ajuste” de 2\pi.

Passo 2

Lembrando que, se \theta ultrapassa \pi, para encontrar o valor de \Arg fazemos
\Arg(e^{i\theta}) = \Arg\bigl(e^{i(\theta-2\pi k)}\bigr),
escolhendo k\in\mathbb{Z} para trazer \theta-2\pi k ao intervalo (-\pi,\pi].

Passo 3

Exemplo 1:
Defina
z = e^{i\frac{3\pi}{4}}, \quad w = e^{i\frac{3\pi}{4}}.
Então
\Arg(z)=\frac{3\pi}{4}, \quad \Arg(w)=\frac{3\pi}{4},
logo
\Arg(z)+\Arg(w)=\frac{3\pi}{2}.
Por outro lado,
zw = e^{i\frac{3\pi}{4}}\,e^{i\frac{3\pi}{4}} = e^{i\frac{3\pi}{2}} = e^{-i\frac{\pi}{2}},
e como -\tfrac{\pi}{2}\in(-\pi,\pi] temos
\Arg(zw) = -\frac{\pi}{2}.
Portanto
\Arg(zw) \;=\;-\,\frac{\pi}{2} \;\neq\; \frac{3\pi}{2} \;=\; \Arg(z)+\Arg(w).

Passo 4

Exemplo 2:
Defina
z = -1, \quad w = -1.
Então
\Arg(z)=\pi, \quad \Arg(w)=\pi,
de onde
\Arg(z)+\Arg(w)=2\pi.
Mas
zw = (-1)\cdot(-1)=1,
e como 1=e^{i\cdot0} com 0\in(-\pi,\pi] temos
\Arg(zw)=0.
Logo
\Arg(zw)=0 \;\neq\; 2\pi \;=\; \Arg(z)+\Arg(w).

Resposta

Exemplo 1: z=e^{i\frac{3\pi}{4}}, w=e^{i\frac{3\pi}{4}}
Exemplo 2: z=-1, w=-1

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