Seja P um ponto da elipse xi de focos F1 e F2. Mostre que os segmentos P F1 e P F2 formam ângulos iguais com a reta tangente a xi em P , e que a reta normal a xi em P é a bissetriz do ângulo widehatF1 P F2.
Sem perder generalidade, nos limitaremos à Elipse:
xi: x^2a^2+y^2b^2=1, a>b
Sejam os focos F1=(-c, 0) e F2=(c, 0), e um ponto arbitrário P=(x0, y0). O vetor normal a xi no ponto P é n=(b^2 x0, a^2 y0). Para provar o requerido, precisamos verificar que
n cdot P F1d1=n cdot P2d2,
onde d1=raiz(x0+c)^2+y0^2=|P F1| e d2=raiz(x0-c)^2+y0^2=|P F2|. A prova segue-se das seguintes equivalências
n cdot P F1d1=n cdot P F2d2 & Leftrightarrow -b^2 x0 c+a^2 b^2d1=b^2 x0 c+a^2 b^2d2 & Leftrightarrow -x0 c+a^2d1=x0 c+a^2d2 & Leftrightarrow (d2-d1) a^2=2 a x0 c & Leftrightarrow (d2^2-d1^2) a^2=4 a^2 x0 c & Leftrightarrow 4 a^2 x0 c=4 a^2 x0 c square

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade refletora da elipse
xi:x^2a^2+y^2b^2=1, a>b,
com focos F1=(-c,0), F2=(c,0) e ponto genérico P=(x0,y0).
Ou seja, provar que os segmentos P F1 e P F2 fazem ângulos iguais com a reta tangente em P e que a reta normal em P bisseta o ângulo widehatF1PF2.
Para isso usaremos o vetor normal obtido pelo gradiente e compararemos produtos escalares normalizados.

Passo 2

A equação implícita da elipse é
F(x,y)=x^2a^2+y^2b^2-1=0
O gradiente em (x0,y0) é
nabla F(x0,y0)=l(tfrac2x0a^2,,tfrac2y0b^2r)
Multiplicando por a^2b^2/2, um vetor normal à tangente em P pode ser escolhido como
n=(b^2x0,;a^2y0)

Passo 3

Escrevemos os vetores dos segmentos até os focos e suas normas:
PF1=(-c-x0,,-y0), PF2=(c-x0,,-y0),
d1=l|PF1r| =raiz(x0+c)^2+y0^2, d2=l|PF2r| =raiz(x0-c)^2+y0^2
Os vetores unitários são PF1/d1 e PF2/d2.

Passo 4

Calculamos os produtos escalares com n:
ncdotPF1 =b^2x0(-c-x0)+a^2y0(-y0) =-b^2x0c-l(b^2x0^2+a^2y0^2r),
e, pela equação da elipse b^2x0^2+a^2y0^2=a^2b^2, segue
ncdotPF1 =-b^2x0c-a^2b^2
De modo análogo,
ncdotPF2 =b^2x0c-l(b^2x0^2+a^2y0^2r) =b^2x0c-a^2b^2
Logo
n!cdot!PF1d1 =-b^2x0c-a^2b^2d1, n!cdot!PF2d2 =,b^2x0c-a^2b^2,d2
Igualando e reorganizando, usa-se ainda
d2^2-d1^2 =(x0-c)^2+y0^2-l((x0+c)^2+y0^2r) =-4cx0
para verificar que a igualdade é satisfeita identicamente. Portanto
ncdotPF1d1 =ncdotPF2d2

Passo 5

Geometricamente, a igualdade anterior significa que os ângulos entre n e PF1 e entre n e PF2 são iguais. Como a reta tangente é perpendicular a n, deduz-se que PF1 e PF2 formam ângulos iguais com a tangente em P. Além disso, n é bissetriz do ângulo widehatF1PF2, como queríamos.

Resposta

O vetor normal n=(b^2x0,;a^2y0) satisfaz
ncdot tfracPF1d1 =ncdot tfracPF2d2,
logo PF1 e PF2 fazem ângulos iguais com a tangente em P e a normal em P é a bissetriz de widehatF1PF2.

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