Descreva geometricamente as regiões:
1<|z-2 i|<2

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva geometricamente a região do plano complexo dada pela desigualdade
1<|z-2i|<2.
Informações dadas:
\;z é um número complexo genérico (podemos escrevê‑lo como z=x+iy),
\;2i é o ponto complexo 0+2i (ou seja, o ponto (0,2) no plano (x,y)),
e os números \;1 e \;2 aparecem como limites estritos (sinais <, então as bordas não pertencem à região).
O que é pedido: explicar o que essa desigualdade representa geometricamente no plano (onde estão os pontos que satisfazem isso?).

Passo 2

Entendendo o significado de |z-z_0|: para z=x+iy e z_0=a+ib, a quantidade |z-z_0| é a distância euclidiana entre os pontos (x,y) e (a,b) no plano. Ou seja,
|z-z_0|=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.
Aqui z_0=2i corresponde a (a,b)=(0,2). Portanto |z-2i| é a distância do ponto z=(x,y) ao ponto (0,2).

Passo 3

Passando a desigualdade para coordenadas cartesianas: escrevemos z=x+iy e calculamos
|z-2i|=\sqrt{x^2+(y-2)^2}.
A desigualdade 1<|z-2i|<2 fica então
1<\sqrt{x^2+(y-2)^2}<2.
Como os termos do meio e da direita são positivos, podemos elevar tudo ao quadrado sem mudar as desigualdades (isso preserva a ordem porque a função t\mapsto t^2 é crescente para t>0). Obtém-se
1<x^2+(y-2)^2<4.

Passo 4

Interpretação geométrica dessa desigualdade: a expressão x^2+(y-2)^2=r^2 é a equação de uma circunferência centrada em (0,2) com raio r. Portanto
x^2+(y-2)^2=1
é a circunferência de raio 1 centrada em (0,2), e
x^2+(y-2)^2=4
é a circunferência de raio 2 centrada em (0,2). A desigualdade
1<x^2+(y-2)^2<4
significa todos os pontos cuja distância ao centro (0,2) é estritamente maior que 1 e estritamente menor que 2. Geometricamente isso é um anel (uma coroa) ao redor do ponto (0,2), entre as duas circunferências mencionadas. Como as desigualdades são estritas, as duas circunferências não pertencem à região: é um anel aberto (chamado de anel aberto ou “annulus” em inglês).

Passo 5

Como desenhar e verificar rapidamente:
  • Marque o centro em (0,2) (no eixo imaginário, duas unidades acima da origem).
  • Desenhe uma circunferência de raio 1 (pequena) ao redor desse ponto e outra de raio 2 (maior).
  • A região pedida é a faixa entre essas duas circunferências; não pinte as bordas (elas estão excluídas).
    Exemplos de pontos:
  • z=1{,}5+2i tem |z-2i|=1{,}5, logo pertence à região.
  • z=1+2i tem |z-2i|=1, está exatamente na borda interna e portanto NÃO pertence (devido ao sinal estrito).
  • z=2+2i tem |z-2i|=2, está na borda externa e também NÃO pertence.
  • z=0+5i tem |z-2i|=3, está fora do anel (muito longe).

Passo 6

Observação útil: a área (se alguém perguntar) da região é a área do disco maior menos a do disco menor:
\text{área}=\pi(2^2-1^2)=3\pi.á
Mas a descrição geométrica essencial é: um anel aberto centrado em 2i com raios interno 1 e externo 2.

Resposta

O conjunto é o anel aberto (annulus) centrado em 2i com raio interno 1 e raio externo 2; equivalentemente
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1<x^2+(y-2)^2<4\}.

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