Descreva geometricamente as regiões:
Passo 1
O enunciado pede que a gente descreva geometricamente a região do plano complexo dada pela desigualdade
Informações dadas:
é um número complexo genérico (podemos escrevê‑lo como
),
é o ponto complexo
(ou seja, o ponto
no plano
),
e os números e
aparecem como limites estritos (sinais
, então as bordas não pertencem à região).
O que é pedido: explicar o que essa desigualdade representa geometricamente no plano (onde estão os pontos que satisfazem isso?).
e os números
O que é pedido: explicar o que essa desigualdade representa geometricamente no plano (onde estão os pontos que satisfazem isso?).
Passo 2
Entendendo o significado de
: para
e
, a quantidade
é a distância euclidiana entre os pontos
e
no plano. Ou seja,
Aqui
corresponde a
. Portanto
é a distância do ponto
ao ponto
.
Passo 3
Passando a desigualdade para coordenadas cartesianas: escrevemos
e calculamos
A desigualdade
fica então
Como os termos do meio e da direita são positivos, podemos elevar tudo ao quadrado sem mudar as desigualdades (isso preserva a ordem porque a função
é crescente para
). Obtém-se
Passo 4
Interpretação geométrica dessa desigualdade: a expressão
é a equação de uma circunferência centrada em
com raio
. Portanto
é a circunferência de raio
centrada em
, e
é a circunferência de raio
centrada em
. A desigualdade
significa todos os pontos cuja distância ao centro
é estritamente maior que
e estritamente menor que
. Geometricamente isso é um anel (uma coroa) ao redor do ponto
, entre as duas circunferências mencionadas. Como as desigualdades são estritas, as duas circunferências não pertencem à região: é um anel aberto (chamado de anel aberto ou “annulus” em inglês).
Passo 5
Como desenhar e verificar rapidamente:
- Marque o centro em
(no eixo imaginário, duas unidades acima da origem). - Desenhe uma circunferência de raio
(pequena) ao redor desse ponto e outra de raio (maior). - A região pedida é a faixa entre essas duas circunferências; não pinte as bordas (elas estão excluídas).
Exemplos de pontos: -
tem , logo pertence à região. -
tem , está exatamente na borda interna e portanto NÃO pertence (devido ao sinal estrito). -
tem , está na borda externa e também NÃO pertence. -
tem , está fora do anel (muito longe).
Passo 6
Observação útil: a área (se alguém perguntar) da região é a área do disco maior menos a do disco menor:
Mas a descrição geométrica essencial é: um anel aberto centrado em
com raios interno
e externo
.
Resposta
O conjunto é o anel aberto (annulus) centrado em
com raio interno
e raio externo
; equivalentemente