Descreva geometricamente (reta, plano, ou todo o R^3 ) todas as combinações lineares de:
[l1 2 3] e [l3 6 9]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descrever geometricamente todas as combinações lineares dos vetores 1 2 3 e 3 6 9 no espaço tridimensional R^3. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e espaços gerados por vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de dois vetores u e v é qualquer vetor que pode ser escrito como au + bv, onde a e b são números reais.

Passo 3

Vamos identificar nossos vetores:
u = 1 2 3, v = 3 6 9

Passo 4

Observamos que v é um múltiplo de u. Isso porque se multiplicarmos u por 3, obtemos v:
3 times 1 2 3 = 3 6 9 = v
Isso significa que os vetores u e v são colineares, ou seja, estão na mesma direção.

Passo 5

Como v é um múltiplo de u, toda combinação linear au + bv pode ser escrita como:
au + b(3u) = (a + 3b)u
Isso mostra que qualquer combinação linear desses dois vetores é apenas um múltiplo de u.

Passo 6

Geometricamente, isso significa que todas as combinações lineares dos vetores u e v formam uma reta no espaço tridimensional R^3 que passa pela origem e segue a direção de u.

Resposta

Todas as combinações lineares dos vetores 1 2 3 e 3 6 9 formam uma reta no espaço tridimensional R^3 que passa pela origem e segue a direção de 1 2 3.

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