Descreva geometricamente (reta, plano, ou todo o R^3 ) todas as combinações lineares de:
[l2 0 0],[l0 2 2], e[l2 2 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descrever geometricamente todas as combinações lineares dos vetores dados:
2 0 0, 0 2 2, e 2 2 3
Isso envolve conceitos de combinação linear e espaço vetorial, especificamente em R^3. Vamos precisar entender se esses vetores formam uma linha, um plano ou preenchem todo o espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, é qualquer vetor que a gente consegue obter multiplicando cada vetor dado por um escalar (número real) e somando os resultados. Ou seja, qualquer vetor v pode ser escrito como:
v = a 2 0 0 + b 0 2 2 + c 2 2 3
onde a, b, c são números reais.

Passo 3

Agora, para descobrir se essas combinações preenchem uma linha, um plano ou todo o R^3, precisamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Se eles forem, eles podem preencher todo o espaço tridimensional. Se não, eles preenchem um plano ou uma linha.

Passo 4

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
2 & 0 & 2 0 & 2 & 2 0 & 2 & 3
Calculando o determinante:
2 times 2 & 2 2 & 3 - 0 + 2 times 0 & 2 0 & 2 = 2 times (2 times 3 - 2 times 2) + 0 = 2 times (6 - 4) = 2 times 2 = 4
Como o determinante é 4 (diferente de zero), os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os três vetores são linearmente independentes em R^3, isso significa que qualquer vetor no espaço tridimensional pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Portanto, as combinações lineares desses vetores preenchem todo o espaço R^3.

Resposta

Todas as combinações lineares dos vetores dados preenchem todo o espaço tridimensional R^3.

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