Descreva a integral tripla
sobre a região
delimitada pelos planos
e
. (não é necessário resolver a integral.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descrever uma integral tripla que envolve a função $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre uma região chamada
. A região
é limitada pelos planos $ x + y + z = 2 $, $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral tripla, como definir os limites de integração e como representar a região geométrica que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla. Ela serve para calcular o volume ou outras propriedades de uma região no espaço tridimensional. No nosso caso, a função $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ será integrada ao longo da região
. Para isso, precisamos definir os limites de integração para as três variáveis:
,
e
.
Passo 3
Vamos entender a região
. Ela é delimitada pelos planos:
- $ x + y + z = 2 $ – esse é um plano que inclina no espaço e intercepta os eixos
, e no ponto 2. - $ x = 0 $ – isso significa que
não pode ser negativo, ou seja, estamos no primeiro octante onde , e são positivos. - $ y = 0 $ – similar ao
, restringe a valores positivos. - $ z = 0 $ – restringe
a valores positivos.
Então, nossa região
é um tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano $ x + y + z = 2 $.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Normalmente, escolhemos uma ordem para integrar, por exemplo,
primeiro, depois
e por último
. Mas a ordem pode variar dependendo da conveniência.
Para começar, vamos fixar
. Como
varia desde 0 até 2 (quando
), nossos limites para
são de 0 a 2.
Passo 5
Para cada valor fixo de
, o
varia de 0 até
(quando
). Então, os limites para
são de 0 a
.
Passo 6
Finalmente, para cada par fixo de
e
, o
varia de 0 até
. Assim, os limites para
são de 0 a
.
Passo 7
Agora que temos todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla. Ela fica assim:
Resposta
A integral tripla descrita sobre a região
é: