Descreva a integral tripla
integral triplaOmega(x^2+y^2+z^2) d V
sobre a região Omega delimitada pelos planos x+y+z=2, x=0, y=0 e z=0. (não é necessário resolver a integral.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descrever uma integral tripla que envolve a função $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre uma região chamada x^2 + y^2 + z^2 . A região Omega é limitada pelos planos $ x + y + z = 2 $, $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral tripla, como definir os limites de integração e como representar a região geométrica que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla. Ela serve para calcular o volume ou outras propriedades de uma região no espaço tridimensional. No nosso caso, a função $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ será integrada ao longo da região x^2 + y^2 + z^2 . Para isso, precisamos definir os limites de integração para as três variáveis: Omega, x e y.

Passo 3

Vamos entender a região Omega. Ela é delimitada pelos planos:
  1. $ x + y + z = 2 $ – esse é um plano que inclina no espaço e intercepta os eixos x + y + z = 2 , x e y no ponto 2.
  2. $ x = 0 $ – isso significa que z não pode ser negativo, ou seja, estamos no primeiro octante onde x = 0 , x e x são positivos.
  3. $ y = 0 $ – similar ao y, restringe z a valores positivos.
  4. $ z = 0 $ – restringe y = 0 a valores positivos.
Então, nossa região x = 0 é um tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano $ x + y + z = 2 $.

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Normalmente, escolhemos uma ordem para integrar, por exemplo, z primeiro, depois y e por último x. Mas a ordem pode variar dependendo da conveniência.
Para começar, vamos fixar x. Como x varia desde 0 até 2 (quando y = z = 0), nossos limites para x são de 0 a 2.

Passo 5

Para cada valor fixo de x, o y varia de 0 até 2 - x (quando z = 0). Então, os limites para y são de 0 a 2 - x.

Passo 6

Finalmente, para cada par fixo de x e y, o z varia de 0 até 2 - x - y. Assim, os limites para z são de 0 a 2 - x - y.

Passo 7

Agora que temos todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla. Ela fica assim:
integral triplaOmega (x^2 + y^2 + z^2) , dV = integral0^2 integral0^2 - x integral0^2 - x - y (x^2 + y^2 + z^2) , dz , dy , dx

Resposta

A integral tripla descrita sobre a região Omega é:
integral triplaOmega (x^2 + y^2 + z^2) , dV = integral0^2 integral0^2 - x integral0^2 - x - y (x^2 + y^2 + z^2) , dz , dy , dx

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