Descreva o método da bissecção para encontrar raízes de equações não lineares. Inclua em sua resposta:
O algoritmo passo a passo.
O algoritmo passo a passo.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente descrever o método da bissecção, passo a passo, pra achar raízes (soluções de f(x)=0) de equações não lineares. Isso é conteúdo de Métodos Numéricos (ou Análise Numérica). Para resolver, a gente vai usar o Teorema do Valor Intermediário (função contínua que muda de sinal num intervalo) e depois “cortar” esse intervalo ao meio repetidas vezes até chegar numa raiz aproximada.
Passo 2
Antes de mais nada, a teoria:
- Teorema do Valor Intermediário: se f é contínua em [a,b] e f(a)·f(b)<0, então existe c∈(a,b) tal que f©=0.
- O método da bissecção explora isso repetindo:
- escolhe [a,b] com f(a)·f(b)<0;
- calcula o ponto médio m=(a+b)/2;
- decide em qual subintervalo ocorre a troca de sinal;
- repete até ter uma raiz aproximada dentro da tolerância.
Passo 3
Agora monta o algoritmo num formato bem prático:
-
Escolha um intervalo inicial [a,b] tal que f(a)·f(b)<0.
Por que? Porque só assim a gente garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz em (a,b). -
Defina uma tolerância ε>0 (por exemplo, ε=10⁻⁶) e um número máximo de iterações Nmax, pra evitar loop infinito.
-
Para k de 1 até Nmax, faça:
3.1) Calcule o ponto médio
m = (a + b) / 2.
3.2) Avalie f(m).
3.3) Se |f(m)| < ε ou (b – a)/2 < ε, pare: m é sua raiz aproximada.
3.4) Senão, decida o novo intervalo:
- Se f(a)·f(m) < 0, então a raiz está em [a,m]. Defina b := m.
- Caso contrário (f(m)·f(b) < 0), a raiz está em [m,b]. Defina a := m.
3.5) Volte ao passo 3.1. -
Se chegar em Nmax sem convergir, reporte “falha em convergir” ou aumente Nmax/tol.
Resposta
Algoritmo da Bissecção:
- Escolher [a,b] com f(a)·f(b)<0.
- Fixar tolerância ε e Nmax.
- Para k = 1…Nmax:
a) m = (a + b)/2
b) Se |f(m)|<ε ou (b–a)/2<ε, pare; raiz ≈ m.
c) Se f(a)·f(m)<0, b = m; senão a = m. - Fim do algoritmo (raiz aproximada ou falha).