Explique o método de Newton para econtrar raízes de funções. Inclua:
As condições para a convergêncoia e os casos em que o método pode falhar.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente explicar o método de Newton (ou Newton–Raphson) pra achar raízes de uma função . A gente vai precisar entender:
  • Derivada de uma função (pra saber o declive da reta tangente).
  • Série de Taylor (ou, mais simples, a ideia de aproximar a função por uma reta).
  • Noções básicas sobre convergência de sequências.

Passo 2

O método de Newton funciona assim: a cada passo a gente “refina” a aproximação da raiz usando a reta tangente a y = f(xn) + f'(xn),(x - xn) .
  1. Suponha que 0 = f(xn) + f'(xn),(xn+1-xn) Longrightarrow xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) seja uma aproximação atual.
  2. A equação da reta tangente em é
  1. A raiz dessa reta (onde ) dá a próxima aproximação . Resolviendo:
Isso é o famoso passo iterativo do Newton.

Passo 3

Quais condições garantem que essa sequência converge para a verdadeira raiz ?
  1. deve ser duas vezes continuamente diferenciável numa vizinhança de .
  2. (senão a reta tangente é “horizontal” e não cruza o eixo).
  3. A segunda derivada tem que ser limitada ali (pra gente ter convergência de segunda ordem, ou seja, o erro cai aprox. ao quadrado a cada passo).
  4. O chute inicial precisa estar dentro do chamado “domínio de convergência” (a região onde a iteração realmente puxa pra raiz, não pra longe).

Passo 4

Mesmo assim, às vezes o método falha. Os casos mais comuns são:
  • em algum passo → divisão por zero na fórmula.
  • Escolha ruim de → a iteração sai voando e não volta (diverge) ou entra em ciclo.
  • Função com ponto de máximo/mínimo onde mas não há raiz ali.
  • Funções não diferenciáveis ou derivada muito pequena (reta quase horizontal) → instabilidade numérica.

Resposta

O método de Newton usa a iteração
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
para “descer” até a raiz de . Converge rápido (quadraticamente) se for , e o chute inicial for bom. Pode falhar se a derivada se anula, se a aproximação inicial estiver fora da região de convergência ou se a função não for bem comportada (não diferenciável ou com derivada muito pequena).

Exercícios relacionados