Explique o método de Newton para econtrar raízes de funções. Inclua:
As condições para a convergêncoia e os casos em que o método pode falhar.
As condições para a convergêncoia e os casos em que o método pode falhar.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente explicar o método de Newton (ou Newton–Raphson) pra achar raízes de uma função
. A gente vai precisar entender:
- Derivada de uma função (pra saber o declive da reta tangente).
- Série de Taylor (ou, mais simples, a ideia de aproximar a função por uma reta).
- Noções básicas sobre convergência de sequências.
Passo 2
O método de Newton funciona assim: a cada passo a gente “refina” a aproximação da raiz usando a reta tangente a
.
- Suponha que
seja uma aproximação atual. - A equação da reta tangente em
é
- A raiz dessa reta (onde
) dá a próxima aproximação . Resolviendo:
Isso é o famoso passo iterativo do Newton.
Passo 3
Quais condições garantem que essa sequência
converge para a verdadeira raiz
?
-
deve ser duas vezes continuamente diferenciável numa vizinhança de . -
(senão a reta tangente é “horizontal” e não cruza o eixo). - A segunda derivada
tem que ser limitada ali (pra gente ter convergência de segunda ordem, ou seja, o erro cai aprox. ao quadrado a cada passo). - O chute inicial
precisa estar dentro do chamado “domínio de convergência” (a região onde a iteração realmente puxa pra raiz, não pra longe).
Passo 4
Mesmo assim, às vezes o método falha. Os casos mais comuns são:
-
em algum passo → divisão por zero na fórmula. - Escolha ruim de
→ a iteração sai voando e não volta (diverge) ou entra em ciclo. - Função com ponto de máximo/mínimo onde
mas não há raiz ali. - Funções não diferenciáveis ou derivada muito pequena (reta quase horizontal) → instabilidade numérica.
Resposta
O método de Newton usa a iteração
para “descer” até a raiz de
. Converge rápido (quadraticamente) se
for
,
e o chute inicial for bom. Pode falhar se a derivada se anula, se a aproximação inicial estiver fora da região de convergência ou se a função não for bem comportada (não diferenciável ou com derivada muito pequena).