Explique o método de Newton para econtrar raízes de funções. Inclua:
Aplique o método para encontrar uma aproximação da raiz da função
- (1.4)
começando com uma aproximação ideal xo
. Realize duas iterações e mostre os cálculos detalhados.
Aplique o método para encontrar uma aproximação da raiz da função
Passo 1
Beleza, a questão pede pra explicar o método de Newton (ou Newton–Raphson) pra achar raízes de funções e, em seguida, aplicar numa função específica
- Conteúdo: Método de Newton para encontrar raízes de
. - O que precisamos:
- A função
e sua derivada . - A fórmula iterativa de Newton:
- A função
- No nosso caso:
Passo 2
Como é que o método de Newton funciona?
- Você supõe um chute inicial
. - Calcula
e . - Ajusta o chute pela fórmula
- Repete isso até convergir pra raiz.
A ideia por trás é linearizar a função em torno de(reta tangente) e ver onde ela cruza o eixo .
Passo 3
Iteração 1 (de
para
):
- Derivada de
: - Avaliando em
: - Aplica Newton:
Passo 4
Iteração 2 (de
para
):
- Avaliando em
: - Nova iteração:
Resposta
Aproximação da raiz após duas iterações: