Explique o método de Newton para econtrar raízes de funções. Inclua:
Aplique o método para encontrar uma aproximação da raiz da função f(X)=cos (x) - (1.4) x começando com uma aproximação ideal xo =0.5. Realize duas iterações e mostre os cálculos detalhados.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra explicar o método de Newton (ou Newton–Raphson) pra achar raízes de funções e, em seguida, aplicar numa função específica
  • Conteúdo: Método de Newton para encontrar raízes de xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) .
  • O que precisamos:
    1. A função f(x)=cos(x)-1.4,x, x0=0.5,duas iterações e sua derivada .
    2. A fórmula iterativa de Newton:
  • No nosso caso: çõ

Passo 2

Como é que o método de Newton funciona?
  1. Você supõe um chute inicial x1 = x0 - f(x0)f'(x0) .
  2. Calcula e .
  3. Ajusta o chute pela fórmula
  4. Repete isso até convergir pra raiz.
    A ideia por trás é linearizar a função em torno de (reta tangente) e ver onde ela cruza o eixo .

Passo 3

Iteração 1 (de f'(x) = -sin(x) - 1.4 para f(0.5) = cos(0.5)-1.4cdot0.5 approx 0.87758 - 0.7 = 0.17758, ):
  1. Derivada de f'(0.5) = -sin(0.5)-1.4 approx -0.47943 - 1.4 = -1.87943 : x1 = 0.5 - 0.17758-1.87943 = 0.5 + 0.0945 approx 0.5945
  2. Avaliando em :
  3. Aplica Newton:

Passo 4

Iteração 2 (de f(0.5945) = cos(0.5945) - 1.4cdot0.5945 approx 0.82788 - 0.83230 = -0.00441, para f'(0.5945) = -sin(0.5945) - 1.4 approx -0.56125 - 1.4 = -1.96125 ):
  1. Avaliando em x2 = 0.5945 - -0.00441-1.96125 = 0.5945 - 0.00225 approx 0.59225 :
  2. Nova iteração:

Resposta

Aproximação da raiz após duas iterações:
x2 approx 0.5923

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