a) Descreva o método de separação de variáveis e encontre a solução do problema de valores inicial e de fronteira para a equação do calor, com condições de fronteira homogêneas:
(P V I F): lvert, ll ut-alpha^2 ux x=0, & 0<x<L e t>0 u(0, t)=u(L, t)=0 & t >= 0 u(x, 0)=f(x) & 0 <= x <= L

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um problema envolvendo a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial muito usada para descrever como o calor se espalha em um material ao longo do tempo. No caso, a gente tem condições iniciais e de fronteira homogêneas, o que significa que a temperatura nas bordas do material é sempre zero. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica bacana para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de separação de variáveis. A ideia é assumir que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de t . Ou seja:
u(x, t) = X(x) cdot T(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma na equação do calor:
ut - alpha^2 uxx = 0
Derivando u(x, t) em relação a t :
ut = X(x) cdot T'(t)
E derivando duas vezes em relação a x :
uxx = X''(x) cdot T(t)
Substituindo na equação do calor:
X(x) cdot T'(t) - alpha^2 X''(x) cdot T(t) = 0

Passo 4

Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis:
T'(t)alpha^2 T(t) = X''(x)X(x)
Perceba que o lado esquerdo depende só de t e o direito só de x . Para que a igualdade seja válida para todos os x e t , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que podemos chamar de -lambda . Assim, temos duas equações:
T'(t)alpha^2 T(t) = -lambda e X''(x)X(x) = -lambda

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente. Começando com a equação de X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. As soluções dependem do valor de lambda . Considerando as condições de fronteira u(0, t) = u(L, t) = 0 , buscamos soluções que satisfaçam X(0) = X(L) = 0 .

Passo 6

A solução geral para X(x) que satisfaz a equação e as condições de fronteira é:
Xn(x) = sin(npi xL)
Onde n é um número inteiro positivo. Os valores de lambda correspondentes são:
lambdan = (npiL)^2

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para T(t) :
T'(t) + alpha^2 lambda T(t) = 0
Substituindo lambdan :
Tn(t) = e^-alpha^2 lambdan t = e^-alpha^2 (npiL)^2 t

Passo 8

Com as soluções de Xn(x) e Tn(t) , a solução geral u(x, t) é uma soma de todas essas soluções:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) e^-alpha^2 (npiL)^2 t
Onde Bn são coeficientes que determinam a contribuição de cada modo de vibração, definidos pela condição inicial.

Passo 9

Para encontrar os coeficientes Bn , usamos a condição inicial u(x, 0) = f(x) :
f(x) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL)
Isso é uma série de Fourier da função f(x) . Os coeficientes Bn são calculados por:
Bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx

Resposta

A solução do problema é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty ( 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx ) sin(npi xL) e^-alpha^2 (npiL)^2 t

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