Mostre que para quaisquer
são válidas as propriedades:
se
e
então
.
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
, se
e
então necessariamente
. O conteúdo aqui é a definição de ordem em
(via soma) e as propriedades de associatividade e comutatividade da adição.
Passo 2
Pela definição de ordem em
, temos:
se então existe
tal que
se
Do mesmo modo,
implica existir
com
Passo 3
Somando as duas igualdades e usando associatividade e comutatividade da soma, obtemos
Passo 4
Como
, defina
. Então
e, pela definição de ordem em
, isso mostra exatamente que
Resposta
Concluímos que, sempre que
e
em
, vale