Mostre que para quaisquer a, b, c, d in N são válidas as propriedades:
se a <= b e c <= d então a+c <= b+d.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,b,c,dinN, se a<= b e c<= d então necessariamente a+c<= b+d. O conteúdo aqui é a definição de ordem em N (via soma) e as propriedades de associatividade e comutatividade da adição.

Passo 2

Pela definição de ordem em N, temos:
se a<= b então existe kinN tal que
b = a + k
Do mesmo modo, c<= d implica existir linN com
d = c + l

Passo 3

Somando as duas igualdades e usando associatividade e comutatividade da soma, obtemos
b + d = (a + k) + (c + l) = (a + c) + (k + l)

Passo 4

Como k+linN, defina m = k + l. Então
b + d = (a + c) + m
e, pela definição de ordem em N, isso mostra exatamente que
a + c <= b + d

Resposta

Concluímos que, sempre que a<= b e c<= d em N, vale
a + c <= b + d

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